【题目】如图,矩形ABCD中,AB=4,AD=6,点E为AD中点,点P为线段AB上一个动点,连接EP,将△APE沿PE折叠得到△FPE,连接CE,CF,当△ECF为直角三角形时,AP的长为_____.
【答案】1或
【解析】
分两种情况进行讨论:当∠CFE=90°时,△ECF是直角三角形;当∠CEF=90°时,△ECF是直角三角形,分别根据直角三角形的勾股定理列方程求解即可.
分两种情况进行讨论:①如图所示,当∠CFE=90°时,△ECF是直角三角形.
由折叠可得:∠PFE=∠A=90°,AE=FE=DE,
∴∠CFP=180°,
即点P,F,C在一条直线上.
在Rt△CDE和Rt△CFE中,,
∴Rt△CDE≌Rt△CFE(HL),
∴CF=CD=4,设AP=FP=x,则BP=4﹣x,CP=x+4.
在Rt△BCP中,BP2+BC2=PC2,即(4﹣x)2+62=(x+4)2,
解得:x,即AP;
②如图所示,当∠CEF=90°时,△ECF是直角三角形.
过F作FH⊥AB于H,作FQ⊥AD于Q,则∠FQE=∠D=90°.
又∵∠FEQ+∠CED=90°=∠ECD+∠CED,
∴∠FEQ=∠ECD,
∴△FEQ∽△ECD,
∴,即,
解得:FQ,QE,
∴AQ=HF,AH,
设AP=FP=x,则HPx.
∵Rt△PFH中,HP2+HF2=PF2,
即(x)2+()2=x2,解得:x=1,即AP=1.
综上所述:AP的长为1或.
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,AC平分∠DAB交⊙O于点C,过点C的直线垂直于AD交AB的延长线于点P,弦CE交AB于点F,连接BE.
(1)求证:PD是⊙O的切线;
(2)若PC=PF,试证明CE平分∠ACB.
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【题目】如图,在菱形ABCD中,∠B=60°,对角线AC平分角∠BAD,点P是△ABC内一点,连接PA、PB、PC,若PA=6,PB=8,PC=10,则菱形ABCD的面积等于_____.
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【题目】如图 1 是台湾某品牌手工蛋卷的外包装盒,其截面图如图 2 所示,盒子上方是一段圆弧(弧 MN ).D,E 为手提带的固定点, DE 与弧MN 所在的圆相切,DE=2.手提带自然下垂时,最低点为C,且呈抛物线形,抛物线与弧MN 交于点 F,G.若△CDE 是等腰直角三角形,且点 C,F 到盒子底部 AB 的距离分别为 1, ,则弧MN 所在的圆的半径为_____.
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【题目】在一个不透明的盒子中装有三张卡片,分别标有数字1、2、3,这些卡片中除数字外其余的均相同.
小明从盒子中随机抽取一张卡片记下数字后放回,洗匀后再随机抽取一张卡片,用画树状图或列表的方法,求两次抽取的卡片上数字之积为3的整数倍的概率;
小亮从盒子中随机抽取一张卡片,记下数字后不放回,再从盒子中随机抽取一张卡,直接写出两次抽取的卡片上的数字之积为3的整数倍的概率.
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【题目】抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A、B、C,已知A(﹣1,0),C(0,3).
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图1,P为线段BC上一点,过点P作y轴平行线,交抛物线于点D,当△BDC的面积最大时,求点P的坐标;
(3)如图2,抛物线顶点为E,EF⊥x轴于F点,M(m,0)是x轴上一动点,N是线段EF上一点,若∠MNC=90°,请指出实数m的变化范围,并说明理由.
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【题目】从甲地到乙地有两条公路,一条是全长600km的普通公路,另一条是全长480km的高速公路,某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45/ ,由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半,求该客车由高速公路从甲地到乙地所需的时间.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线l1:y=﹣x与反比例函数y=的图象交于A,B两点(点A在点B左侧),已知A点的纵坐标是2:
(1)求反比例函数的表达式;
(2)将直线l1:y=﹣x向上平移后的直线l2与反比例函数y=在第二象限内交于点C,如果△ABC的面积为30,求平移后的直线l2的函数表达式.
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【题目】已知:如图,反比例函数y= 的图象与一次函数y=x+b的图象交
于点A(1,4)、点B(-4,n).
(1)求一次函数和反比例函数的解析式;
(2)求△OAB的面积;
(3)直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围.
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