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【题目】如图,矩形ABCD中,AB4AD6,点EAD中点,点P为线段AB上一个动点,连接EP,将△APE沿PE折叠得到△FPE,连接CECF,当△ECF为直角三角形时,AP的长为_____

【答案】1

【解析】

分两种情况进行讨论:当∠CFE=90°时,△ECF是直角三角形;当∠CEF=90°时,△ECF是直角三角形,分别根据直角三角形的勾股定理列方程求解即可.

分两种情况进行讨论:①如图所示,当∠CFE=90°时,△ECF是直角三角形.

由折叠可得:∠PFE=A=90°,AE=FE=DE

∴∠CFP=180°,

即点PFC在一条直线上.

RtCDERtCFE中,

RtCDERtCFEHL),

CF=CD=4,设AP=FP=x,则BP=4xCP=x+4

RtBCP中,BP2+BC2=PC2,即(4x2+62=x+42

解得:x,即AP

②如图所示,当∠CEF=90°时,△ECF是直角三角形.

FFHABH,作FQADQ,则∠FQE=D=90°.

又∵∠FEQ+CED=90°=ECD+CED

∴∠FEQ=ECD

∴△FEQ∽△ECD

,即

解得:FQQE

AQ=HFAH

AP=FP=x,则HPx

RtPFH中,HP2+HF2=PF2

即(x2+2=x2,解得:x=1,即AP=1

综上所述:AP的长为1

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