Question

矩形的周长是16，两对角线夹角为60°，则矩形较长的对角线的长度是

 

．

Answer 1

分析：由矩形的性质可知：矩形的对角线相等，所以只要求出其中一条对角线即可，如下图所示：四边形ABCD是平行四边形且∠AOD=60°，所以OA=OD=OB=OC=AD，即：∠DAO=60°，在Rt△ADC中，DC=tan60°×AD=

3

AD，又因为矩形的周长是16，即：AD+DC=8，得出AD=4（

3

-1），AC=

AD

cos∠DAO

=

AD

cos60°

，求出AC即可．

解答：解：如下图所示：∠AOD=60°，
∵四边形ABCD是矩形
∴OA=OD=OB=OC（矩形的对角线相等且互相平分）
又∵∠AOD=60°
∴OA=OD=AD，∠DAO=60°
在Rt△ADC中，tan∠DAO=

DC

AD

=tan60°=

3

，
即：DC=

3

AD，
又∵AB+AD+DC+BC=16，即：AD+DC=

1

2

×16=8=（

3

+1）AD
∴AD=

8

3 +1

=4（

3

-1），
∴AC=

AD

cos∠AOD

=4（

3

-1）×

1

cos60°

=8

3

-8，
所以，矩形较长的对角线的长度是：8

3

-8．

点评：本题主要考查矩形的性质，矩形的对角线相等且互相平分，所以本题只要求出其中一条对角线即可．