Question

（2013•广安）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²+bx+c经过A、B、C三点，已知点A（-3，0），B（0，3），C（1，0）．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点，（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为F，交直线AB于点E，作PD⊥AB于点D．
①动点P在什么位置时，△PDE的周长最大，求出此时P点的坐标；
②连接PA，以AP为边作图示一侧的正方形APMN，随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点M或N恰好落在抛物线对称轴上时，求出对应的P点的坐标．（结果保留根号）

Answer 1

分析：（1）把点A、B、C的坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求二次函数解析式解答即可；
（2）①根据点A、B的坐标求出OA=OB，从而得到△AOB是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠BAO=45°，然后求出△PED是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质，PD越大，△PDE的周长最大，再判断出当与直线AB平行的直线与抛物线只有一个交点时，PD最大，再求出直线AB的解析式为y=x+3，设与AB平行的直线解析式为y=x+m，与抛物线解析式联立消掉y，得到关于x的一元二次方程，利用根的判别式△=0列式求出m的值，再求出x、y的值，从而得到点P的坐标；
②先确定出抛物线的对称轴，然后（i）分点M在对称轴上时，过点P作PQ⊥对称轴于Q，根据同角的余角相等求出∠APF=∠QPM，再利用“角角边”证明△APF和△MPQ全等，根据全等三角形对应边相等可得PF=PQ，设点P的横坐标为n，表示出PQ的长，即PF，然后代入抛物线解析式计算即可得解；（ii）点N在对称轴上时，同理求出△APF和△ANQ全等，根据全等三角形对应边相等可得PF=AQ，根据点A的坐标求出点P的纵坐标，再代入抛物线解析式求出横坐标，即可得到点P的坐标．

解答：解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c经过点A（-3，0），B（0，3），C（1，0），
∴

9a-3b+c=0 c=3 a+b+c=0

，
解得

a=-1 b=-2 c=3

，
所以，抛物线的解析式为y=-x²-2x+3；

（2）①∵A（-3，0），B（0，3），
∴OA=OB=3，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠BAO=45°，
∵PF⊥x轴，
∴∠AEF=90°-45°=45°，
又∵PD⊥AB，
∴△PDE是等腰直角三角形，
∴PD越大，△PDE的周长越大，
易得直线AB的解析式为y=x+3，
设与AB平行的直线解析式为y=x+m，
联立

y=x+m y=-x2-2x+3

，
消掉y得，x²+3x+m-3=0，
当△=3²-4×1×（m-3）=0，
即m=

21

4

时，直线与抛物线只有一个交点，PD最长，
此时x=-

3

2

，y=-

3

2

+

21

4

=

15

4

，
∴点P（-

3

2

，

15

4

）时，△PDE的周长最大；

②抛物线y=-x²-2x+3的对称轴为直线x=-

-2

2×(-1)

=-1，
（i）如图1，点M在对称轴上时，过点P作PQ⊥对称轴于Q，

在正方形APMN中，AP=PM，∠APM=90°，
∴∠APF+∠FPM=90°，∠QPM+∠FPM=90°，
∴∠APF=∠QPM，
∵在△APF和△MPQ中，

∠APF=∠QPM ∠AFP=∠MQP=90° AP=PM

，
∴△APF≌△MPQ（AAS），
∴PF=PQ，
设点P的横坐标为n（n＜0），则PQ=-1-n，
即PF=-1-n，
∴点P的坐标为（n，-1-n），
∵点P在抛物线y=-x²-2x+3上，
∴-n²-2n+3=-1-n，
整理得，n²+n-4=0，
解得n₁=

-1+ 17

2

（舍去），n₂=

-1- 17

2

，
-1-n=-1-

-1- 17

2

=

-1+ 17

2

，
所以，点P的坐标为（

-1- 17

2

，

-1+ 17

2

）；

（ii）如图2，点N在对称轴上时，设抛物线对称轴与x轴交于点Q，

∵∠PAF+∠FPA=90°，∠PAF+∠QAN=90°，
∴∠FPA=∠QAN，
又∵∠PFA=∠AQN=90°，PA=AN，
∴△APF≌△NAQ，
∴PF=AQ，
设点P坐标为P（x，-x²-2x+3），
则有-x²-2x+3=-1-（-3）=2，
解得x=

2

-1（不合题意，舍去）或x=-

2

-1，
此时点P坐标为（-

2

-1，2）．
综上所述，当顶点M恰好落在抛物线对称轴上时，点P坐标为（

-1- 17

2

，

-1+ 17

2

），当顶点N恰好落在抛物线对称轴上时，点P的坐标为（-

2

-1，2）．

点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的判定与性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，抛物线上点的坐标特征，（2）确定出△PDE是等腰直角三角形，从而判断出点P为平行于AB的直线与抛物线只有一个交点时的位置是解题的关键，（3）根据全等三角形的性质用点P的横坐标表示出纵坐标或用纵坐标求出横坐标是解题的关键．