Question

（2013•徐汇区二模）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=

4

5

，将△ABC绕点A旋转后，点C落在射线BA上，点B落到点D处，那么sin∠ADB的值等于

5

5

或

2 5

5

．

Answer 1

分析：作出图形，设BC=4a，AB=5a，求出AC，再根据旋转的性质可得AB=AD，AC=AC′，BC=C′D，然后分①逆时针旋转时，求出BC′，再利用勾股定理列式求出BD，根据等边对等角求出∠ADB=∠ABD，然后根据锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解；②顺时针旋转时，求出BC′，再利用勾股定理列式求出BD，过点A作AE⊥BD于E，根据等腰三角形三线合一的性质求出BE，再利用勾股定理列式求出AE，然后根据锐角的正弦值等于对边比斜边列式计算即可得解．

解答：解：∵∠C=90°，sinA=

4

5

，
∴设BC=4a，AB=5a，
则AC=

(5a)2-(4a)2

=3a，
根据旋转的性质，AB=AD=5a，AC=AC′=3a，BC=C′D=4a，
①如图1，逆时针旋转时，BC′=AB+AC′=5a+3a=8a，
根据勾股定理，BD=

BC′2+C′D2

=

(8a)2+(4a)2

=4

5

a，
∵AB=AD，
∴∠ADB=∠ABD，
∴sin∠ADB=sin∠ABD=

C′D

BD

=

4a

4 5 a

=

5

5

；
②如图2，顺时针旋转时，BC′=AB-AC′=5-3=2，
根据勾股定理，BD=

BC′2+C′D2

=

(2a)2+(4a)2

=2

5

a，
过点A作AE⊥BD于E，则BE=

1

2

BD=

1

2

×2

5

a=

5

a，
在Rt△ABE中，AE=

AB2-BE2

=

(5a)2-( 5 a)2

=2

5

a，
∴sin∠ADB=

AE

AD

=

2 5 a

5a

=

2 5

5

；
综上所述，sin∠ADB的值为

5

5

或

2 5

5

．
故答案为：

5

5

或

2 5

5

．

点评：本题考查了旋转的性质，勾股定理的应用，等边对等角的性质，等腰三角形三线合一的性质，难点在于要分情况讨论并找出∠ADB所在的直角三角形，作出图形更形象直观．