Question

如图，已知AB是⊙O的直径，⊙O过BC的中点D，且DE⊥AC于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若∠C=30°，CE=5，求⊙O的半径．

Answer 1

（1）证明：
证法一：连接OD
∵点D为BC的中点，点O为AB的中点
∴OD为△ABC的中位线
∴OD∥AC
∴∠DEC=∠ODE
∵DE⊥AC
∴∠DEC=90°，
∴∠ODE=90°
∴DE⊥OD
∴DE是⊙O的切线
证法二：连接OD，AD
∵AB为直径
∴∠BDA=90°，∠CDA=90°
∵∠C=30°
∴∠CAD=60°
∵DE⊥AC
∴∠AED=90°
∴∠ADE=30°
∵点D为BC的中点，AD⊥BC
∴∠BAD=∠CAD=60°
∵OA=OD
∴∠ODA=∠OAD=60°
∴∠ODE=90°
∴DE⊥OD
∴DE是⊙O的切线；

（2）解：
解法一：连接AD
∵AB为直径
∴∠BDA=90°
∵DE⊥AC
∴∠CED=90°
在Rt△CED中，cos∠C=，cos30°=，CD=10
∵点D为BC的中点
∴BD=CD=10
∴AC=AB
∴∠B=∠C=30°
在Rt△ABD中．cos∠B=，cos∠30°=，AB=
∴⊙O的半径为
解法二：连接AD，过O点作OF⊥BD，垂足为F
∵AB为直径
∴∠BDA=90°
∵D是BC的中点
∴BD=CD
∴AC=AB
∴∠B=∠C=30°
在Rt△CED中，cos∠C=，cos30°=，CD=10
∴DB=CD=10，∴BF=5
在Rt△BFO中，cos∠B=，cos30°=，OB=
即⊙O的半径为．
分析：（1）连接OD，根据等腰三角形的性质或平行线的性质易得OD⊥DE，故DE与⊙O相切；
（2）本题方法较多，需分析图形，通过相似三角形的性质或三角函数的定义求出AB或圆的半径的值即可．
点评：本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．