Question

如图，直线y=

1

2

x+2分别交x、y轴于点A、C，与双曲线y=

6

x

（x＞0）交于点P．
（1）求该点P的坐标；
（2）设点Q是x轴上一动点，是否存在点Q使△PQC的周长最小？若存在，请求出Q的坐标和△PQC的周长；
（3）作PB⊥x轴于B，点M是直线AC上一点，且△PBM是等腰三角形，求满足条件的点M的坐标．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：综合题

分析：（1）解直线和反比例函数的解析式组成的方程组即可求解；
（2）作C关于x轴对称点C′，连接PC′交x轴的点就是使得△PQC周长最小的点Q，则三角形的周长即可求解；
（3）分当PB是腰，P是顶角的顶点时，当PB是腰，B是顶角的顶点时，以及当PB是底边是三种情况进行讨论，利用相似三角形的性质：相似三角形对应边的比相等即可求解．

解答：解：（1）由已知得

1

2

x+2=

6

x

，
解得x₁=2，x₂=-6（∵x＞0，舍去），
又∵6÷2=3，
故P（2，3）；

（2）作C关于x轴对称点C′，由C（0，2）得C′（0，-2），
连接PC′交x轴的点就是使得△PQC周长最小的点Q．设直线PC的解析式为y=mx+n，
∴

n=-2 2m+n=3

，
解得

n=-2 m= 5 2

，
故直线PC′的解析式为y=

5

2

x-2，
令y=0，解得x=

4

5

，
故Q（

4

5

，0），
作PD⊥y轴于D，则PD=2，CD=1，C′D=5，
则PC=

PD2+CD2

，PC′=

PD2+C′D2

，
故△PQC的周长=PC+CQ+PQ=PC+PC′=

5

+

29

．

（3）在y=

1

2

x+2中，令y=0，解得：x=-4，
则A的坐标是（-4，0），则AP=

(2+4)2+32

=3

5

．
1）当PB是腰，P是顶角的顶点时，M是以P为圆心，以PB=3为半径的圆与直线y=

1

2

x+2的交点，当交点在CP的延长线上时，设为M₁，则PM₁=3，
过M1作M1E⊥x轴于E．
则△AOC∽△AEM1，∴

M1E

PB

=

AM1

AP

，即

M1E

3

=

3 5 +3

3 5

，解得：M₁E=

15+3 5

5

，把y=

15+3 5

5

代入y=

1

2

x+2，解得：x=

10+6 5

5

，
即M₁的坐标是（

10+6 5

5

，

15+3 5

5

），
当M在线段AP上时，设为M₂，则PM2=3，AM₂=3

5

-3，同理可得：M₂的坐标是：（

10-6 5

5

，

15-3 5

5

）；
2）当PB是腰，B是顶角的顶点时，M是以B为圆心，以PB=3为半径的圆与直线y=

1

2

x+2的交点，设交点是M3，作BF⊥AB于点F．
则BF=

AB•BP

AP

=

6×3

3 5

=

6 5

5

，
在直角三角形BPF中，PF=

BP2-BF2

=

3 5

5

，
则PM₂=

6 5

5

，同1）可得M₃的坐标是：（

9

5

，-

2

5

）．
3）当PB是底边是，M是PB的中垂线与直线y=

1

2

x+2的交点，PB的中垂线是y=

3

2

，
把y=

3

2

代入y=

1

2

x+2得：x=-1，则M₄的坐标是（-1，

3

2

）．

点评：本题考查函数图象的交点的求法，以及相似三角形的性质，正确进行讨论是关键．