Question

如图1，是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，为原点，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，，．

（1）在边上取一点，将纸片沿翻折，使点落在边上的点处，求两点的坐标；

（2）如图2，若上有一动点（不与重合）自点沿方向向点匀速运动，运动的速度为每秒1个单位长度，设运动的时间为秒（），过点作的平行线交于点，过点作的平行线交于点．求四边形的面积与时间之间的函数关系式；当取何值时，有最大值？最大值是多少？

（3）在（2）的条件下，当为何值时，以为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应的时刻点的坐标．

Answer 1

解：（1）依题意可知，折痕是四边形的对称轴，

在中，，．

．．

点坐标为（2，4）．

在中，，   又．

 ．   解得：．

点坐标为

（2）如图①，．

，又知，，

， 又．

而显然四边形为矩形．

，又

当时，有最大值．

（3）（i）若以为等腰三角形的底，则（如图①）

在中，，，为的中点，

．

又，为的中点．

过点作，垂足为，则是的中位线，

，，

当时，，为等腰三角形．

此时点坐标为．

（ii）若以为等腰三角形的腰，则（如图②）

在中，．

过点作，垂足为．

，．

．

，．

，，

当时，（），此时点坐标为．

综合（i）（ii）可知，或时，以为顶点的三角形为等腰三角形，相应点的坐标为或．