Question

设x和y是正整数，x≠y，p是奇质数，并且

1

x

+

1

y

=

2

p

，求x+y的值．

Answer 1

分析：根据x和y是正整数，x≠y，p是奇质数，由

1

x

+

1

y

=

2

p

可知xy=

p(x+y)

2

，由k为正整数可得2xy=kp，再由质数的定义可知2t-1=1或2t-1=p，由x≠y及2t-1为质数即可得出结论．

解答：解：

x+y

xy

=

2

p

，得x+y=

2xy

p

=k，k为正整数可得2xy=kp，
所以p整除2xy，且p为奇质数，所以p整除xy，进而p整除x或y，
不妨设x=tp，则tp+y=2ty，得y=

tp

2t-1

为整数，又t与2t-1互质所以2t-1整除p，p为质数，
所以2t-1=1或2t-1=p，
若2t-1=1，得t=1，x=y=p，与x≠y矛盾；
若2t-1=p，则

x+y

xy

=

2

p

，2xy=p（x+y）
∵P是奇质数，则x+y为偶数，x、y同奇偶性、只能同为xy=

p(x+y)

2

必有某数含因数P，令x=aP
ay=

ap+y 2

，2ay=p+y，
∴y=

ap

2a-1

，
到此可知，a、2a-1互质，2a-1整除P，又P是质数，则2a-1=p，a=y=

(p+1)

2

，
x=

(p+1)

2

•p=

p(p+1)

2

∴x+y=

p(p+1)

2

+

(p+1)

2

=

(p+1)2

2

．

点评：本题考查的是质数与合数、数的整除性问题，解答此题的关键根据题意得出p整除x或y，由质数的定义得到2t-1=1或2t-1=p，再进行讨论，此题难度较大．