Question

已知点P是正方形ABCD的对角线AC上一点．
（1）如图1，求证：PB=PD；
（2）如图2，过点P作PB的垂线，交边CD于点Q，求证△PQD是等腰三角形；
（3）在（2）的条件下，若正方形ABCD的边长为1，AP=

1

3

，求△PQD的面积．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据正方形的性质可得AB=AD，∠BAP=∠DAP，然后利用“边角边”证明△BAP和△DAP全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；
（2）根据四边形的内角和等于360°求出∠PBC+∠PQC=180°，然后求出∠PBC=∠PQD，再根据等角的余角相等求出∠PBC=∠PDC，从而得到∠PQD=∠PDC，再根据等角对等边证明即可；
（3）过点P作PM⊥CD于M，作PN⊥AD于N，根据正方形性质求出PM、PN，再求出DQ，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，AC为一条对角线，
∴AB=AD，∠BAP=∠DAP，
在△BAP和△DAP中，

AB=AD ∠BAP=∠DAP AP=AP

，
∴△BAP≌△DAP（SAS），
∴PB=PD；

（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，
∵PB⊥PQ，
∴∠PBC+∠PQC=180°，
∵∠PQD+∠PQC=180°，
∴∠PBC=∠PQD，
∵△BAP≌△DAP，
∴∠ABP=∠ADP，
∴∠PBC=∠PDC，
∴∠PQD=∠PDC，
∴PQ=PD；

（3）解：如图2，过点P作PM⊥CD于M，作PN⊥AD于N，
∵正方形ABCD的边长为1，AP=

1

3

，
∴PN=

1

3

×

2

2

=

2

6

，PM=1-

2

6

，
∵PD=PQ，
∴DQ=2MD=2PN=

2

6

×2=

2

3

，
△PQD的面积=

1

2

×

2

3

×（1-

2

6

）=

3 2 -1

18

．

点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等角的余角相等的性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．