Question

3．关于x的方程kx²+（k+2）x+$\frac{k}{4}$=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围．
（2）是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于5？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据方程有两个不相等的实数根，利用根的判别式结合二次项系数非0即可得出关于k的一元一次不等式组，解不等式组即可得出k的取值范围；
（2）假设存在，设方程的两根分别为m、n，根据根与系数的关系可得出m+n=-$\frac{k+2}{k}$、mn=$\frac{\frac{k}{4}}{k}$=$\frac{1}{4}$，将其代入$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$=$\frac{m+n}{mn}$=5中即可得出关于k的分式方程，解方程可得出k的值，结合k的取值范围即可得出结论．

解答 解：（1）∵方程kx²+（k+2）x+$\frac{k}{4}$=0有两个不相等的实数根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k≠0}\\{△=（k+2）^{2}-4k•\frac{k}{4}=4k+4＞0}\end{array}\right.$，
解得：k＞-1且k≠0，
∴k的取值范围为k＞-1且k≠0．
（2）假设存在，设方程的两根分别为m、n，
则有：m+n=-$\frac{k+2}{k}$，mn=$\frac{\frac{k}{4}}{k}$=$\frac{1}{4}$．
∵$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$=$\frac{m+n}{mn}$=5，
∴-$\frac{4k+8}{k}$=5，
解得：k=-$\frac{8}{9}$，
经检验后得：k=-$\frac{8}{9}$是分式方程-$\frac{4k+8}{k}$=5的解．
∵-$\frac{8}{9}$＞-1，
∴存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于，k的值为-$\frac{8}{9}$．

点评 本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握“当方程有两个不相等的实数根时，判别式△＞0且二次项系数非0”时解题的关键．