Question

在正方形ABCD中，E为AD中点，AF丄BE交BE于G，交CD于F，连CG延长交AD于H．下列结论：
①CG=CB；②；③；④以AB为直径的圆与CH相切于点G，其中正确的是________．

Answer 1

①②③④
分析：连接OG、OC，构建全等三角形△BOC≌△GOC，然后由全等三角形的对应角相等推知∠OBC=∠OGC=90°，即OG⊥CH，故④正确；利用④中切线的性质可以推知①正确；由平行线截线段成比例可以证得②正确；最后由正方形的性质及勾股定理可以求得④正确．
解答：解：连接OG、OC．
∵AF丄BE，
∴∠ABE=∠DAF；
在Rt△ABE和Rt△DAF中，
∵，
∴Rt△ABE≌Rt△DAF（ASA），
∴AE=DF（全等三角形的对应边相等）；
又∵E为AD中点，
∴F为DC的中点；
∵O为AB的中点，
∴OC∥AF，
∴OC⊥BE，
∴∠BOC=∠GOC；
在△BOC和△GOC中，
∵，
∴△BOC≌△GOC，
∴∠OBC=∠OGC=90°，即OG⊥CH，
∴以AB为直径的圆与CH相切于点G；
故④正确；
∵以AB为直径的圆与CH相切于点G，AB⊥BC，
∴CG=CB；
故①正确；
∵AD∥BC，
∴==；
∵CG=CB，
∴HG=HE；
又∵E为AD中点，
∴AH=HE=HG，即点H为AE的中点，
∴==；
故②正确；
∵点F是CD的中点，
∴DF=AD；
∴AF=AD（勾股定理）；
∵tan∠DAF===，
∴AG=2EG，
∴AE=EG=AD，
∴EG=AD，
∴AG=AD，
∴FG=AF-AG=AD，
∴=；
故③正确；
综上所述，正确的说法有：①②③④．
故答案是：①②③④．
点评：本题综合考查了切线的性质与判定、全等三角形的判定与性质、正方形的性质等知识点．解答③选项时，也可以利用相似三角形的判定与性质．