Question

（2012•包河区一模）如图所示，在平面直角坐标中，抛物线的顶点P到x轴的距离是4，抛物线与x轴相交于O、M两点，OM=4；矩形ABCD的边BC在线段OM上，点A、D在抛物线上．
（1）请写出P、M两点坐标，并求这条抛物线的解析式；
（2）设矩形ABCD的周长为l，求l的最大值．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线的顶点P到轴的距离是4，抛物线与x轴相交于O、M两点，OM=4，知点P的横坐标是OM的一半，即2；点P的纵坐标是4．点M的坐标是（4，0）．根据点P的坐标可以运用顶点式求函数的解析式，再进一步把点M的坐标代入即可．
（2）设C（x，0），则B（4-x，0），D（x，4x-x²），A（4-x，4x-x²）．分别表示出矩形的长和宽，再进一步根据矩形的周长公式进行计算．然后根据二次函数的最值方法进行求解；

解答：解：（1）根据题意，得P（2，4），M（4，0），
设抛物线的解析式为：y=a（x-2）²+4，
∵函数经过点M（4，0），则4a+4=0，
∴a=-1，
故可得函数解析式为：y=-（x-2）²+4=4x-x²；

（2）设C点坐标为（x，0），
则B（4-x，0），D（x，4x-x²），A（4-x，4x-x²），
故可得：l=2（BC+CD）=2[（4-2x）+（4x-x²）]=2（-x²+2x+4）=-2（x-1）²+10，
即当x=1时，l有最大值，即l最大值为10；

点评：此题考查了二次函数的综合题目，第一问要求我们能够根据已知条件选择恰当的待定系数法求得二次函数的解析式，第二问要求我们能够利用建立函数关系式的方法求得周长的最值，难度一般．