Question

某生活小区的居民筹集资金1600元，计划在一块上、下底分别为10m，20m的梯形空地上种植花木（如图1）
（1）他们在△AMD和△BMC地带上种植太阳花，单价为8元/m²，当△AMD地带种满花后（图1中阴影部分），共花了160元，请计算种满△BMC地带所需的费用；
（2）若其余地带要种的有玫瑰和茉莉花两种花木可供选择，单价分别为12元/m²和10元/m²，应选择哪种花木，刚好用完所筹集的资金；
（3）若梯形ABCD为等腰梯形，面积不变（如图2），请你设计一种花坛图案，即在梯形内找到一点P，使得△APB≌△DPC且S_△APD=S_△BPC，并说出你的理由．

Answer 1

分析：（1）由太阳花的单价和钱数可先求出△AMD的面积，再由AD∥BC证出△AMD∽△CMB，根据相似三角形面积之比等于相似比的平方，得出△BMC的面积，从而算出所要花费的钱数；
（2）由△AMD∽△CMB，根据相似三角形对应高的比等于它们的相似比，可求出两三角形AD与BC边上的高之比，再根据三角形的面积公式可求出AD边上的高，从而可求出整个梯形的高及面积．进而求出三角形AMB和三角形DCM的面积和，然后根据两种花的单价来计算哪种花合算；
（3）由（2）可知整个梯形高为12，要保证△APB≌△DPC且S_△APD=S_△BPC，P点必须在AD和BC的垂直平分线上，且P到AD的距离是P到BC距离的2倍，即到AD的距离应该为8．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是梯形，
∴AD∥BC，
∴∠MAD=∠MCB，∠MDA=∠MBC，
∴△AMD∽△CMB，
∴

S三角形AMD

S三角形CMB

=（

AD

BC

）²=

1

4

．
∵种植△AMD地带花费160元，单价为8元/m²，
∴S_三角形AMD=20（m²），
∴S_三角形CMB=80m²，
∴△BMC地带所需的费用为8×80=640（元）；

（2）设△AMD的高为h₁，△BMC的高为h₂，梯形ABCD的高为h．
∵S_△AMD=

1

2

×10h₁=20，
∴h₁=4，
∵S_△BCM=

1

2

×20h₂=80，
∴h₂=8，
∴S_梯形ABCD=

1

2

（AD+BC）•h
=

1

2

×（10+20）×（4+8）
=180．
∴S_△AMB+S_△DMC=180-20-80=80（m²），
∵160+640+80×12=1760（元），
160+640+80×10=1600（元），
∴应种植茉莉花刚好用完所筹集的资金；

（3）由（2）知梯形高为12，要保证△APB≌△DPC且S_△APD=S_△BPCP点必须在AD和BC的垂直平分线上，且P到AD的距离是P到BC距离的2倍，即到AD的距离应该为8．

点评：此题主要考查了相似三角形的性质以及应用．