Question

如图，在?ABCD中，∠ABC=5∠A，过点B作BE⊥DC交AD的延长线于点E，O是垂足，且DE=DA=4cm，
求：（1）?ABCD的周长；
（2）四边形BDEC的周长和面积（结果可保留根号）

Answer 1

解：（1）∵∠ABC=5∠A，∠ABC+∠A=180°，
∴∠A=30°，
又∵AE=AD+DE=8cm，
∴AB=AEcos∠A=4cm，BE=AEsin∠A=4cm，
故可得?ABCD的周长=2（AD+AB）=（8+8）cm．
（2）∵点D是AE的中点，∠ABE是直角，
∴BD=DE=AD，
又∵四边形BDEC是平行四边形，
∴四边形BDEC是菱形，
故四边形BDEC的周长=4DE=16cm；面积=DC•BE=8cm²．
分析：（1）先由∠ABC=5∠A，求出∠A=30°，从而在RT△ABE中，可求出AB、EB，可求出?ABCD的周长．
（2）根据（1）的过程可得出BE，判断出四边形BDEC是菱形，然后根据菱形面积等于对角线乘积的一半进行运算即可．
点评：此题考查了平行四边形的性质、菱形的判定及含30°角的直角三角形的性质，解答本题的关键是求出∠A，判断出四边形BDEC是菱形，难度一般．