Question

如图，等腰直角△ABC中，∠C=90°，F是AB边的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持AD=CE，连接DE、DF、EF，在此运动变化过程中，下列结论：①△DFE是等腰直角三角形．②△ABC的面积是四边形CDFE面积的2倍．
③四边形CDFE不可能是正方形．④CD+CE=

2

AF，其中正确的个数为（　　）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

Answer 1

分析：连接CF，求出CF=AF，∠A=∠FCE，证△ADF≌△CEF，推出DF=EF，∠AFD=∠CFE，求出△AFC面积等于四边形CDFE面积，求出AC=

2

AF，即可得出答案．

解答：解：连接CF；
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠FCB=∠A=45°，CF=AF=FB；
∵AD=CE，
∴△ADF≌△CEF；
∴EF=DF，∠CFE=∠AFD；
∵∠AFD+∠CFD=90°，
∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90°，
∴△EDF是等腰直角三角形．
∴①正确；
∵△ADF≌△CEF，
∴S_△CEF=S_△ADF
∴S_{四边形CEFD}=S_△AFC=

1

2

S_△ACB
即△ABC的面积是四边形CDFE面积的2倍，
∴②正确．
当D、E分别为AC、BC中点时，四边形CDFE是正方形．
∴③错误．
∵AC=BC，∠ACB=90°，F为AB中点，
∴CF⊥AB，AF=CF=BF，∠A=45°，∠ACF=45°，
∴AF=CF，由勾股定理得：AC=

2

CF=

2

AF，
∵AC=AD+DC=CE+CD，
∴CD+CE=

2

AF，∴④正确；
故选C．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形性质，等腰直角三角形，勾股定理的应用，主要考查学生的推理能力．