Question

如图，在线段AB上找一点C．已知AD⊥AB，EB⊥AB．现连接DC、EC．若DC⊥CE．
（1）求证：△DAC∽△CBE．
（2）若C为AB中点且以DC、CE为两边作一矩形DCEF，并连接FC．求证：FC⊥AB．

Answer 1

证明：（1）∵AD⊥AB，
∴∠A=90°，
∴∠ADC+∠ACD=90°，
又∵DC⊥CE，
∴∠DCE=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，
∴∠ADC=∠BCE，
由EB⊥BA，得到∠B=90°，
∴∠A=∠B，
∴△DAC∽△CBE；

（2）连接DE，与FG交于M，
∵四边形DCEF为矩形，
∴M为DE中点，
∵C为AB中点，
∴AC=BC，
∴CM为梯形ABED的中位线，
∴CM∥AD，又∠A=90°，
∴∠ACM=90°，即FC⊥AB．
分析：（1）根据AD与AB垂直得到∠A为90°，且其余两锐角互余，又由于DC与CE垂直，根据平角定义得到两角互余，再根据同角的余角相等得到一对锐角相等，又根据一对直角相等，由两对对应角相等的三角形相似即可得证；
（2）连接DE交FC于M，根据矩形的对角互相平分，得到M为DE中点，又由于C为AB中点，得到MC为梯形的中位线，根据梯形中位线定理即可得到MC与AD平行，由两直线平行，同旁内角互补，根据∠A为90°，即可得到∠ACF为直角，从而得证．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质以及梯形的中位线定理，本题第一问根据同角的余角相等，利用转化的数学思想，得到判定两三角形相似的条件；连接DE，是第二问证明的突破点．