Question

以O为圆心，1为半径作圆．△ABC为⊙O的内接正三角形，P为弧AC的三等分点，则PA²+PB²+PC²的值为

 

．

Answer 1

分析：由以O为圆心，1为半径作圆，△ABC为⊙O的内接正三角形，即可得∠BAC=∠ABC=60°，AB=AC=BC=

3

，又由P为弧AC的三等分点，即可得各角的度数，然后根据正弦定理，即可求得PA，PB，PC的值，又由三角函数的性质，即可求得PA²+PB²+PC²的值．

解答：解：∵以O为圆心，1为半径作圆，△ABC为⊙O的内接正三角形，
∴∠BAC=∠ABC=60°，AB=AC=BC=

3

，
∴∠APB=∠ACB=60°，∠BPC=∠BAC=60°，
∵P为弧AC的三等分点，
∴∠ABP=

1

3

∠ABC=20°，
∴∠PBC=40°，
∴∠PAC=∠PBC=40°，
∴∠PAB=∠BAC+∠PAC=100°，
∵

PA

sin∠ABP

=

PB

sin∠PAB

=

AB

sin∠APB

，

PC

sin∠PBC

=

BC

sin∠BPC

，
∴

PA

sin20°

=

PB

sin100°

=

AB

sin60°

，

PC

sin40°

=

BC

sin60°

，
∵

AB

sin60°

=

3

3 2

=2，
∴PA=2sin20°，PB=2sin100°，PC=2sin40°，
∴PA²+PB²+PC²=4[sin²20+sin²80+sin²40]=4[

1-cos40°

2

+

1-cos160°

2

+

1-cos80°

2

]=4[

3

2

-cos（60°-20°）+cos20°-cos（60°+20°）]=6．
故答案为：6．

点评：此题考查了圆的内角正三角形的性质，弧的三等分点的性质以及正弦定理等知识．此题难度较大，解题的关键是正确应用正弦定理以及三角函数的性质，注意数形结合思想的应用．