Question

7．如图，△A₁B₁A₂，△A₂B₂A₃，△A₃B₃A₄，…，△A_nB_nA_n+1都是等腰直角三角形，其中点A₁，A₂，…，A_n在x轴上，点B₁，B₂，…，B_n在直线y=x上，已知OA₁=1，则△B₂₀₁₆A₂₀₁₆A₂₀₁₇的面积为2⁴⁰²⁹．

Answer 1

分析 由OA₁=1结合一次函数图象上点的坐标特征可得出A₁B₁=1，根据等腰直角三角形的性质即可得出A_nA_n+1=2^n-1，依此规律可得出A₂₀₁₆A₂₀₁₇=2²⁰¹⁵，再根据三角形的面积即可求出结论．

解答 解：∵OA₁=1，B₁在直线y=x上，
∴A₁B₁=1．
∵△A₁B₁A₂，△A₂B₂A₃，…，△A_nB_nA_n+1都是等腰直角三角形，
∴A₁A₂=1，
∴OA₂=2，A₂A₃=2．
进而得出A₃A₄=4，A₄A₅=8，A₅A₆=16，
∴A_nA_n+1=2^n-1，
∴A₂₀₁₆A₂₀₁₇=2²⁰¹⁵，
∴${S}_{△{B}_{2016}{A}_{2016}{A}_{2017}}$=$\frac{1}{2}$（A₂₀₁₆A₂₀₁₇）²=2⁴⁰²⁹．
故答案为：2⁴⁰²⁹．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形以及规律型中数的变化，根据线段的变化找出A_nA_n+1=2^n-1是解题的关键．