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    计算：
    1
    1×2010
    +
    1
    2×2009
    +…+
    1
    2010×1
    -
    2010
    2011
    (
    1
    1×2009
    +
    1
    2×2008
    +…+
    1
    2009×1
    )
    =
     
    ．
    分析：把前面2010个分数的和看作被减数，后面2009个分数的和的
    2010
    2011
    看作减数，本题就是求它们的差．由于被减数中每一个分数的分子都是1，分母都是2个数的乘积，且这两个数的和为1+2010=2+2009=…=2010+1=2011，所以将每一个分数改写成两个分数的和，
    1
    1×2010
    =
    2011
    2011×1×2010
    =
    1
    2011
    （
    1
    1
    +
    1
    2010
    ），
    1
    2×2009
    =
    2011
    2011×2×2009
    =
    1
    2011
    （
    1
    2
    +
    1
    2009
    ），依此类推，
    1
    2010×1
    =
    1
    2011
    （
    1
    2010
    +
    1
    1
    ）；同理，减数中每一个分数也可以改写成两个分数的和，
    1
    1×2009
    =
    1
    2010
    （
    1
    1
    +
    1
    2009
    ），
    1
    2×2008
    =
    1
    2010
    （
    1
    2
    +
    1
    2008
    ），…，
    1
    2009×1
    =
    1
    2010
    （
    1
    2009
    +
    1
    1
    ），然后根据运算法则及乘法的分配律计算即可．
    解答：解：
    1
    1×2010
    +
    1
    2×2009
    +…+
    1
    2010×1
    -
    2010
    2011
    (
    1
    1×2009
    +
    1
    2×2008
    +…+
    1
    2009×1
    )
    =
    1
    2011
    （
    1
    1
    +
    1
    2010
    +
    1
    2
    +
    1
    2009
    +…+
    1
    2010
    +
    1
    1
    ）-
    2010
    2011
    ×
    1
    2010
    （
    1
    1
    +
    1
    2009
    +
    1
    2
    +
    1
    2008
    +…+
    1
    2009
    +
    1
    1
    ）
    =
    1
    2011
    （
    1
    1
    +
    1
    2010
    +
    1
    2
    +
    1
    2009
    +…+
    1
    2010
    +
    1
    1
    -
    1
    1
    -
    1
    2009
    -
    1
    2
    -
    1
    2008
    -…-
    1
    2009
    -
    1
    1
    ）
    =
    1
    2011
    （
    1
    2010
    +
    1
    2010
    ）
    =
    1
    2011
    ×
    1
    1005

    =
    1
    2021055
    ．
    故答案为：
    1
    2021055
    ．
    点评：本题考查了有理数的混合运算，属于竞赛题型，难度较大．关键是通过观察，发现分数之间的特点，从而将每一个分数改写成两个分数的和．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    由
    1
    1×2
    =
    1
    1
    -
    1
    2
    =
    1
    2
    ；
    1
    2×3
    =
    1
    2
    -
    1
    3
    =
    1
    6
    ；
    1
    3×4
    =
    1
    3
    -
    1
    4
    =
    1
    12
    ；…请你利用这一规律，计算：
    1
    1×2
    +
    1
    2×3
    +…+
    1
    2009×2010
    =
     
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    观察下列各等式，并回答问题：
    1
    1×2
    =1-
    1
    2
    ；
    1
    2×3
    =
    1
    2
    -
    1
    3
    ；
    1
    3×4
    =
    1
    3
    -
    1
    4
    ；
    1
    4×5
    =
    1
    4
    -
    1
    5
    ；…
    （1）填空：
    1
    n(n+1)
    =
     
    （n是整数）；
    （2）计算：
    1
    1×2
    +
    1
    2×3
    +
    1
    3×4
    +
    1
    4×5
    +…+
    1
    8×9
    .
    解：原式=(1-
    1
    2
    )+(
    1
    2
    -
    1
    3
    )+(
    1
    3
    -
    1
    4
    )+…+(
    1
    8
    -
    1
    9
    )    =1-
    1
    2
    +
    1
    2
    -
    1
    3
    +
    1
    3
    -
    1
    4
    +…+
    1
    8
    -
    1
    9
    =1-
    1
    9
    =
    8
    9

    请同学们观察上面解题过程后计算：
    1
    1×2
    +
    1
    2×3
    +
    1
    3×4
    +
    1
    4×5
    +…+
    1
    2009×2010
    .

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    先观察变形规律，再解答提出的问题：
    1
    1×2
    =1-
    1
    2
    ，
    1
    2×3
    =
    1
    2
    -
    1
    3
    ，
    1
    3×4
    =
    1
    3
    -
    1
    4
    ，…
    （1）若n为正整数，请你猜想
    1
    n(n+1)
    =
     
    ；
    （2）计算：
    1
    1×2
    +
    1
    2×3
    +
    1
    3×4
    +…+
    1
    2009×2010
    ．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：填空题

    计算：
    1
    1×2010
    +
    1
    2×2009
    +…+
    1
    2010×1
    -
    2010
    2011
    (
    1
    1×2009
    +
    1
    2×2008
    +…+
    1
    2009×1
    )
    =______．

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