练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    （2012•广安）如图，在平面直角坐标系xOy中，AB⊥x轴于点B，AB=3，tan∠AOB=
    3
    4
    ，将△OAB绕着原点O逆时针旋转90°，得到△OA1B1；再将△OA1B1绕着线段OB1的中点旋转180°，得到△OA2B1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点B、B1、A2．
    （1）求抛物线的解析式．
    （2）在第三象限内，抛物线上的点P在什么位置时，△PBB1的面积最大？求出这时点P的坐标．
    （3）在第三象限内，抛物线上是否存在点Q，使点Q到线段BB1的距离为
    		2
    2
    ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
    分析：（1）首先根据旋转的性质确定点B、B1、A2三点的坐标，然后利用待定系数法求得抛物线的解析式；
    （2）求出△PBB1的面积表达式，这是一个关于P点横坐标的二次函数，利用二次函数求极值的方法求出△PBB1面积的最大值；值得注意的是求△PBB1面积的方法，如图1所示；
    （3）本问引用了（2）问中三角形面积表达式的结论，利用此表达式表示出△QBB1的面积，然后解一元二次方程求得Q点的坐标．
    解答：解：（1）∵AB⊥x轴，AB=3，tan∠AOB=
    3
    4
    ，∴OB=4，
    ∴B（-4，0），B1（0，-4），A2（3，0）．
    ∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点B、B1、A2，
    ∴
    16a-4b+c=0
    c=-4
    9a+3b+c=0
    ，
    解得
    a=
    1
    3
    b=
    1
    3
    c=-4

    ∴抛物线的解析式为：y=
    1
    3
    x2+
    1
    3
    x-4．

    （2）点P是第三象限内抛物线y=
    1
    3
    x2+
    1
    3
    x-4上的一点，
    如答图1，过点P作PC⊥x轴于点C．
    设点P的坐标为（m，n），则m＜0，n＜0，n=
    1
    3
    m2+
    1
    3
    m-4．
    于是PC=|n|=-n=-
    1
    3
    m2-
    1
    3
    m+4，OC=|m|=-m，BC=OB-OC=|-4|-|m|=4+m．
    S△PBB1=S△PBC+S梯形PB1OC-S△OBB1
    =
    1
    2
    ×BC×PC+
    1
    2
    ×（PC+OB1）×OC-
    1
    2
    ×OB×OB1
    =
    1
    2
    ×（4+m）×（-
    1
    3
    m2-
    1
    3
    m+4）+
    1
    2
    ×[（-
    1
    3
    m2-
    1
    3
    m+4）+4]×（-m）-
    1
    2
    ×4×4
    =-
    2
    3
    m2-
    8
    3
    m=-
    2
    3
    （m+2）2+
    8
    3

    当m=-2时，△PBB1的面积最大，这时，n=-
    10
    3
    ，即点P（-2，-
    10
    3
    ）．

    （3）假设在第三象限的抛物线上存在点Q（x0，y0），使点Q到线段BB1的距离为
    		2
    2
    ．
    如答图2，过点Q作QD⊥BB1于点D．
    由（2）可知，此时△QBB1的面积可以表示为：-
    2
    3
    （x0+2）2+
    8
    3
    ，
    在Rt△OBB1中，BB1=
    		OB2+OB12
    =4
    		2

    ∵S△QBB1=
    1
    2
    ×BB1×QD=
    1
    2
    ×4
    		2
    ×
    		2
    2
    =2，
    ∴-
    2
    3
    （x0+2）2+
    8
    3
    =2，
    解得x0=-1或x0=-3
    当x0=-1时，y0=-4；当x0=-3时，y0=-2，
    因此，在第三象限内，抛物线上存在点Q，使点Q到线段BB1的距离为
    		2
    2
    ，这样的点Q的坐标是（-1，-4）或（-3，-2）．
    点评：本题综合考查了待定系数法求抛物线解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一元二次方程、旋转与坐标变化、图形面积求法、勾股定理等重要知识点．第（2）问起承上启下的作用，是本题的难点与核心，其中的要点是坐标平面内图形面积的求解方法，这种方法是压轴题中常见的一种解题方法，同学们需要认真掌握．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•广安）如图是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“建”字所在的面相对的面上标的字是（　　）

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•广安）如图，把抛物线y=
    1
    2
    x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（-6，0）和原点O（0，0），它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y=
    1
    2
    x2交于点Q，则图中阴影部分的面积为
    27
    2
    27
    2
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•广安）如图，2012年4月10日，中国渔民在中国南海黄岩岛附近捕鱼作业，中国海监船在A地侦查发现，在南偏东60°方向的B地，有一艘某国军舰正以每小时13海里的速度向正西方向的C地行驶，企图抓捕正在C地捕鱼的中国渔民，此时，C地位于中国海监船的南偏东45°方向的10海里处，中国海监船以每小时30海里的速度赶往C地救援我国渔民，能不能及时赶到？（
    		2
    ≈1.41，
    		3
    ≈1.73，
    		6
    =2.45）．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•广安）如图，已知双曲线y=
    k
    x
    和直线y=mx+n交于点A和B，B点的坐标是（2，-3），AC垂直y轴于点C，AC=
    3
    2
    ．
    （1）求双曲线和和直线的解析式．
    （2）求△AOB的面积．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•广安）如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1：
    		3
    ，堤坝高BC=50m，则迎水坡面AB的长度是（　　）

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案