Question

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°．以AB为直径作⊙O交BC于点F，CD的中点E恰好在⊙O上．
（1）CD是⊙O的切线吗？请说明理由；
（2）若AD=2，BC=6，求的长度（结果保留π）．

Answer 1

解：（1）CD是⊙O的切线．理由如下：
连接OE．
∵O是AB中点，E是CD中点，
∴OE是直角梯形ABCD的中位线，
∴OE∥AD∥BC，
∴∠OEC=∠D=90°，
又∵OE是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；

（2）连接OF、AF．
由（1）得OE==4，
∴OB=OF=4，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB=90°，
∵直角梯形ABCD中，∠C=∠D=90°，
∴四边形AFCD是矩形．
∴CF=AD=2，
∴BF=BC-CF=4，
∴OB=OF=BF=4，
∴∠BOF=60°，
∴的长度==π．
分析：（1）连接OE，由于OE分别是AB、CD中点，可知OE是梯形ABCD的中位线，从而有OE∥AD∥BC，而∠D=90°，易求∠OED=90°，从而可知CD是⊙O切线；
（2）连接OF、AF，利用中位线定理可知OE=4，由于AB是直径，那么∠AFB=90°，即∠AFC=90°，易证四边形AFCD是矩形，于是CF=AD=2，那么BF=6-2=4，而OB=OF=OE=4，于是OB=OF=BF=4，即△BOF是等边三角形，即∠BOF=60°，利用弧长公式即可求弧BF．
点评：本题考查了梯形中位线定理和性质、切线的判定、等边三角形的判定和性质、矩形的判定和性质、弧长的计算．解题的关键是作辅助线，连接OE、OF、AF，构造矩形AFCD．