Question

3．如图，抛物线y=x²在第一象限内经过的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次为A₁，A₂，A₃…A_n，…将抛物线y=x²沿直线L：y=x向上平移，得一系列抛物线，且满足下列条件：①抛物线的顶点M₁，M₂，M₃，…M_n，…都在直线L：y=x上；②抛物线依次经过点A₁，A₂，A₃…A_n，…则顶点M₂₀₁₇的坐标为（4033，4033）．

Answer 1

分析 根据抛物线的解析式结合整数点的定义，找出点A_n的坐标为（n，n²），设点M_n的坐标为（a，a），则以点M_n为顶点的抛物线解析式为y=（x-a）²+a，由点A_n的坐标利用待定系数法，即可求出a值，将其代入点M_n的坐标即可得出结论．

解答 解：∵抛物线y=x²在第一象限内经过的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次为A₁，A₂，A₃，…，A_n，…，
∴点A_n的坐标为（n，n²）．
设点M_n的坐标为（a，a），则以点M_n为顶点的抛物线解析式为y=（x-a）²+a，
∵点A_n（n，n²）在抛物线y=（x-a）²+a上，
∴n²=（n-a）²+a，解得：a=2n-1或a=0（舍去），
∴M_n的坐标为（2n-1，2n-1），
∴M₂₀₁₇的坐标为（4033，4033）．
故答案为：（4033，4033）．

点评 本题考查了二次函数图象与几何变换、一次函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求二次函数解析式，根据点A_n的坐标利用待定系数法求出a值是解题的关键．