Question

已知边长为2的等边△ABC中，点D为BC的中点，动点P在AC上，在△BPD的周长最小的情况下，AP的长度为

 

．

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题,等边三角形的性质

专题：

分析：作点D关于AC的对称点D′，连接BD′与AC相交，根据轴对称确定最短路线问题，BD′与AC的交点即为所求的点P，连接CD′，求出AB∥CD′，判断出△ABP和△CD′P相似，根据相似三角形对应边成比例求出

AP

PC

，然后求解即可．

解答：解：如图，作点D关于AC的对称点D′，连接BD′与AC相交，
则BD′与AC的交点即为△BPD的周长最小时的点P，
连接CD′，由轴对称的性质得，∠PCD′=∠ACB=60°，CD′=CD=

1

2

BC=1，
∴∠BCD′=60°×2=120°，
∵∠ABC+∠BCD′=60°+120°=180°，
∴AB∥CD′，
∴△ABP∽△CD′P，
∴

AP

PC

=

AB

CD′

=2，
∴AP=

2

2+1

×2=

4

3

．
故答案为：

4

3

．

点评：本题考查了轴对称确定最短路线问题，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握轴对称确定最短路线的方法找出点P的位置是解题的关键．