Question

已知梯形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD=1，AB=3，BC=4．若P为线段AB上任意一点，延长PD到E，使DE=2PD，再以PE、PC为边作□PCQE，求对角线PQ的最小值   ．

Answer 1

7．

试题分析：设PQ与DC相交于点G，PE∥CQ，PD=DE，可得，易证得Rt△ADP∽Rt△HCQ，继而求得BH的长，即可求得答案；
试题解析：如图，

设PQ与DC相交于点G，
∵PE∥CQ，PD=DE，
∴ ，
∴G是DC上一定点，
作QH⊥BC，交BC的延长线于H，
同理可证∠ADP=∠QCH，
∴Rt△ADP∽Rt△HCQ，
即 ，
∴CH=3，
∴BH=BC+CH=4+3=7，
∴当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为7．