Question

已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过点A（1，0）、B（3，0）、C（0，3），顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在x轴下方的抛物线y=ax²+bx+c上有一点G，使得∠GAB=∠BCD，求点G的坐标；
（3）设△ABD的外接圆为⊙E，直线l经过点B且垂直于x轴，点P是⊙E上异于A、B的任意一点，直线AP交l于点M，连接EM、PB．求tan∠MEB•tan∠PBA的值．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）直接将A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入抛物线y=ax²+bx+c建立方程组，求出a、b、c的值就可以求出结论；
（2）如图2，过点G作GF⊥x轴，垂足为F．设点G坐标为（m，m²-4m+3），由抛物线的解析式就可以求出D的坐标，由勾股定理的逆定理就可以求出△BDC是直角三角形，由相似三角形的性质就可以求出结论；
（3）如图3，由条件可以求得△ADB为等腰直角三角形，就可以求出E的坐标．设P（x₁，y₁）（1＜x₁＜3，y₁≠0），M（3，y₀），作PF⊥x轴，F为垂足．就可以得出△AFP∽△ABM，就可以表示出y₀的值，由直角三角形的性质就可以表示出tan∠MEB和tan∠PBA的值而得出结论．

解答：解：（1）由抛物线y=ax²+bx+c经过点A、B、C，可得：

c=3 a+b+c=0 9a+3b+c=0

，
解得：

a=1 b=-4 c=3

，
∴抛物线的解析式为y=x²-4x+3；
（2）过点G作GF⊥x轴，垂足为F．设点G坐标为（m，m²-4m+3），
∵y=x²-4x+3；
∴y=（x-2）²-1
∴点D（2，-1）．
∵B（3，0），C（0，3），
∴由勾股定理得：
CD=2

5

，BD=

2

，BC=3

2

，
∴CD²=20，BD²=2，BC²=18
∴CD²=BC²+BD²，
∴△CBD是直角三角形，
∴tan∠GAF=tan∠BCD=

1

3

．
∵tan∠GAF=

GF

AF

=

1

3

，
∴AF=3GF，
∴-3（m²-4m+3）=m-1，
解得：m₁=1（舍去），m₂=

8

3

．
∴点G的坐标为（

8

3

，-

5

9

）；
（3）∵A（1，0）、B（3，0）且点D的坐标为（2，-1），
∴由勾股定理，得
AD²=2，BD²=2．AB²=4，
∴AB²=AD²+BD²，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴圆心E是线段AB的中点，即E（2，0），半径为1．
设P（x₁，y₁）（1＜x₁＜3，y₁≠0），M（3，y₀），作PF⊥x轴，F为垂足．
∵MB⊥x轴，
∴PF∥MB．
∴△AFP∽△ABM，
∴

|y0|

|y1|

=

2

x1-1

，
∴y₀=

2|y1|

x1-1

．
∴tan∠MEB=

|y0|

EB

=

2|y1|

x1-1

．
∵AB为直径，
∴∠APB=90°，
∴∠PBA=∠APF，
∴tan∠PBA=tan∠APF=

x1-1

|y1|

，
∴tan∠MEB•tan∠PBA=

2|y1|

x1-1

•

x1-1

|y1|

=2．
答：tan∠MEB•tan∠PBA的值为2．

点评：本题考查了待定系数法求函数的解析式的运用，二次函数的顶点式的运用，相似三角形的判断及性质的运用，勾股定理及其逆定理的运用，圆周角定理的运用，三角函数值的运用，解答时求出函数的解析式是关键，运用圆周角的性质是难点．