Question

在梯形ABCD中，DC∥AB，BD=AD，AC=AB，∠ADB=90°，求证：
（1）∠CAB=30°；
（2）若BD和AC交于E，则BE=BC．

Answer 1

分析：（1）根据梯形的性质，过点D、C作边AB的垂线，在△ADB中和△ABC中，利用题中的已知条件和直角三角形的性质来证明∠CAB=30°；
（2）利用（1）的结论，在△ABC和△AEB中找∠ACB=∠BEC，等角对等边来证明BE=BC．

解答：证明：（1）过D作DF⊥AB交AB于点F，过C作CG⊥AB交AB于点G，
∴DF∥CG，
∵DC∥AB，
∴DF=CG；
在△ADB中，BD=AD，∠ADB=90°，
∴DF是边AB的中垂线，
∴DF=

1

2

AB，
∴CG=

1

2

AB；
在△ABC中，AC=AB，
∴CG=

1

2

AC，
∴∠CAB=30°；

（2）在△ABC中，∠CAB=30°，AC=AB，
∴∠ABC=∠ACB=

1

2

×（180-30）=75°；
在△ADB中，BD=AD，∠ADB=90°，
∴∠DAB=45°，∠DBA=∠DAB=45°，
∵∠CAB=30°，
∴∠CEB=45°+30°=75°，
∴∠ACB=∠BEC，
∴BE=BC．

点评：本题主要考查的是梯形的性质、直角三角形的性质以及内角的补角的知识．