Question

如图是一个抛物线形桥洞示意图，河底线AB长为20m，水面距河底线的高度为1.9m，此时水面宽CD为18m．
（1）求桥顶E到河底线AB的距离；
（2）借助过A、B、E三点的圆与以A、B、E为顶点的三角形，估计这个抛物线形桥洞与线段AB围成图形面积S的范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据题意写出点A、C的坐标，再根据抛物线对称轴为y轴，设解析式为y=ax²+c，然后利用待定系数法求出二次函数解析式，再令x=0求解即可；
（2）根据OE的坐长度求出△ABE的面积，以AB为半径的半圆的面积，再根S介于二者之间解答．
解答：解：（1）根据图形，∵AB长为20m，
∴OA=OB=10m，
∴点A（-10，0），
∵水面距河底线的高度为1.9m，CD=18m，
∴点C（-9，1.9），
设抛物线解析式为y=ax²+c，
则，
解得．
∴抛物线解析式为y=-0.1x²+10，
当x=0时，y=10．
∴桥顶E到河底线AB的距离是10米；

（2）∵OE=10米，OA=OB=10米，
∴S_△ABE=AB•OE=×20×10=100，
S_半圆=π•10²=50π，
∴100＜S＜50π．
点评：本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，根据二次函数图象的对称性求出点A、C的坐标，然后求出抛物线的解析式是解题的关键．