Question

已知直线l₁∥l₂，且l₃、l₄和l₁、l₂分别交于A、B、C、D四点，点P在直线AB上．设∠ADP=∠1，∠DPC=∠2，∠BCP=∠3．
（1）探究∠1、∠2、∠3之间的关系下面给出推导过程，请你填写理由
（2）如果点P在A、B两点之间运动时，问∠1、∠2、∠3之间的关系是否会发生变化？
（3）如果点P在A、B两点外侧时，猜想∠1、∠2、∠3之间的数量关系（点P和A、B不重合），并说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据提示，结合平行线的性质，进行填空；
（2）由（1）中的证明过程，可知∠1、∠2、∠3之间的关系不发生变化；
（3）根据题意，画出图形，利用平行线的性质可推出∠1、∠2、∠3之间的关系．

解答：（1）证明：过点P作PE∥l₁
∵PE∥l₁（已作）
∴∠1=∠DPE（两直线平行，内错角相等）
∵PE∥l₁，l₁∥l₂（已知）
∴PE∥l₂（平行于同一条直线的两直线平行）
∴∠3=∠EPC（两直线平行，内错角相等）
∵∠2=∠DPE+∠EPC
∴∠2=∠1+∠3（等量代换）

（2）解：如果点P在A、B两点之间运动时，∠1、∠2、∠3之间的关系不发生变化，
仍是∠2=∠1+∠3．

（3）如果点P在A、B两点外侧运动时，如图，可猜想∠1、∠2、∠3之间的关系是：∠1=∠2+∠3．

证明：如图，过点P作PE∥l₁
∵PE∥l₁（已作）
∴∠1=∠DPE（两直线平行，内错角相等）
∵PE∥l₁，l₁∥l₂（已知）
∴PE∥l₂（平行于同一条直线的两直线平行）
∴∠3=∠EPC（两直线平行，内错角相等）
∵∠1=∠DPC+∠EPC
∴∠1=∠2+∠3（等量代换）．
当P在A的上边时，同理可得∠3=∠1+∠2．

点评：本题主要考查作辅助线构造平行线，再利用平行线的性质解题．