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某学校七年级数学兴趣小组组织一次数学活动.在一座有三道环形路的数字迷宫的每个进口处都标记着一个数,要求进入者把自己当做数“1”,进入时必须乘进口处的数,并将结果带到下一个进口,依次累乘下去,在通过最后一个进口时,只有乘积是5的倍数,才可以进入迷宫中心,现让一名5岁小朋友小军从最外环任一个进口进入.

(1)小军能进入迷宫中心的概率是多少?请画出树状图进行说明.

(2)小组两位组员小张和小李商量做一个小游戏,以猜测小军进迷宫的结果比胜负.游戏规则规完:小军如果能进入迷宫中心,小张和小李各得1分;小军如果不能进入迷宫中心,则他在最后一个进口处所得乘积是奇数时,小张得3分,所得乘积是偶数时,小李得3分,你认为这个游戏公平吗?如果公平,请说明理由;如果不公平,请在第二道环进口处的两个数中改变其中一个数使游戏公平.

(3)在(2)的游戏规则下,让小军从最外环进口任意进入10次,最终小张和小李的总得分之和不超过28分,请问小军至少几次进入迷宫中心?

 

【答案】

(1),图略(2)不公平,可将第二道环上的数4改为任一奇数(3)2次

【解析】(1)树状图略···························· 2分

.························· 3分

(2)不公平,理由如下:

法一:由树状图可知,

所以不公平.

法二:从(1)中树状图得知,不是5的倍数时,

结果是奇数的有2种情况,而结果是偶数的有6种情况,显然小李胜面大,所以不公平.

法三:由于积是5的倍数时两人得分相同,所以可直接比较积不是5的倍数时,奇数、偶数的概率.

所以不公平.································ 6分

可将第二道环上的数4改为任一奇数.····················· 7分

(3)设小军次进入迷宫中心,

,··························· 9分

解之得

所以小军至少2次进入迷宫中心.  10分

游戏是否公平,关键要看是否游戏双方赢的机会是否相等,即判断双方取胜的概率是否相等,或转化为在总情况明确的情况下,判断双方取胜所包含的情况数目是否相等.

 

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(3)在(2)的游戏规则下,让小军从最外环进口任意进入10次,最终小张和小李的总得分之和不超过28分,请问小军至少几次进入迷宫中心?

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