Question

2．如图，对称轴为x=1的抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，其中点A的坐标为（-1，0）．
（1）求点B的坐标．
（2）已知a=1，C为抛物线与y轴的交点．
①若点P在抛物线上，且S_△POA=$\frac{4}{3}$S_△AOC，求点P的坐标．
②设点Q是线段BC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD的长度的最大值．

Answer 1

分析 （1）由抛物线y=ax²+bx+c的对称轴为直线x=1，交x轴于A、B两点，其中A点的坐标为（-1，0），根据二次函数的对称性，即可求得B点的坐标；
（2）①a=1时，先由对称轴为直线x=1，求出b的值，再将B（3，0）代入，求出二次函数的解析式为y=x²-2x-3，得到C点坐标，然后设P点坐标为（x，x²-2x-3），根据S_△POA=$\frac{4}{3}$S_△AOC列出关于x的方程，解方程求出x的值，进而得到点P的坐标；
②先运用待定系数法求出直线BC的解析式为y=x-3，再设Q点坐标为（x，x-3），则D点坐标为（x，x²-2x-3），然后用含x的代数式表示QD，根据二次函数的性质即可求出线段QD长度的最大值．

解答 解：（1）∵对称轴为直线x=1的抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，
∴A、B两点关于直线x=1对称，
∵点A的坐标为（-1，0），
∴点B的坐标为（3，0）；
（2）①a=1时，∵抛物线y=x²+bx+c的对称轴为直线x=1，
∴-$\frac{b}{2}$=1，解得b=-2．
将B（3，0）代入y=x²-2x+c，
得9-6+c=0，解得c=-3．
则二次函数的解析式为y=x²-2x-3，
∴抛物线与y轴的交点C的坐标为（0，-3），OC=3．
设P点坐标为（x，x²-2x-3），
∵S_△POA=$\frac{4}{3}$S_△AOC，
∴$\frac{1}{2}$×1×|x²-2x-3|=$\frac{4}{3}$×$\frac{1}{2}$×3×1，
∴|x²-2x-3|=4，x=±4．
当x²-2x-3=-4时，x=1；
当x²-2x-3=4时，x=1±2$\sqrt{2}$．
∴点P的坐标为（1，-4）或（1+2$\sqrt{2}$，4）或（1-2$\sqrt{2}$，4）；
②设直线BC的解析式为y=kx+t，将B（3，0），C（0，-3）代入得$\left\{\begin{array}{l}{3k+t=0}\\{t=-3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{t=-3}\end{array}\right.$．
即直线BC的解析式为y=x-3．
设Q点坐标为（x，x-3）（0≤x≤3），则D点坐标为（x，x²-2x-3），
QD=（x-3）-（x²-2x-3）=-x²+3x=-（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
∴当x=$\frac{3}{2}$时，QD有最大值$\frac{9}{4}$．

点评 此题考查了二次函数综合题的知识，涉及到待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，二次函数的性质以及三角形面积、线段长度问题等知识．解答本题的关键是用待定系数法求出二次函数的解析式，此题难度适中，注重运用方程思想与数形结合思想．