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    如图，抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B．
    （1）求抛物线的解析式；
    （2）在抛物线上求点M，使△MOB的面积是△AOB面积的3倍．
    （1）由题意，可设抛物线的解析式为y=a（x-2）2+1，（2分）
    ∵抛物线过原点，
    ∴a（0-2）2+1=0，a=-
    1
    4
    ；（2分）
    ∴抛物线的解析式为y=-
    1
    4
    （x-2）2+1=-
    1
    4
    x2+x．（1分）

    （2）△AOB和所求△MOB同底不等高，且S△MOB=3S△AOB，
    ∴△MOB的高是△AOB高的3倍，
    即M点的纵坐标是-3，（3分）
    ∴-3=-
    1
    4
    x2+x，
    即x2-4x-12=0，（1分）
    解之，得x1=6，x2=-2，（2分）
    ∴满足条件的点有两个：M1（6，-3），M2（-2，-3）．（1分）
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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知直线y=-2x+b（b≠0）与x轴交于点A，与y轴交于点B；一抛物线的解析式为y=x2-（b+10）x+c．
    （1）若该抛物线过点B，且它的顶点P在直线y=-2x+b上，试确定这条抛物线的解析式；
    （2）过点B作直线BC⊥AB交x轴于点C，若抛物线的对称轴恰好过C点，试确定直线y=-2x+b的解析式．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图①，点A′，B′的坐标分别为（2，0）和（0，-4），将△A′B′O绕点O按逆时针方向旋转90°后得△ABO，点A′的对应点是点A，点B′的对应点是点B．
    （1）写出A，B两点的坐标，并求出直线AB的解析式；
    （2）将△ABO沿着垂直于x轴的线段CD折叠，（点C在x轴上，点D在AB上，点D不与A，B重合）如图②，使点B落在x轴上，点B的对应点为点E．设点C的坐标为（x，0），△CDE与△ABO重叠部分的面积为S．
    ①试求出S与x之间的函数关系式（包括自变量x的取值范围）；
    ②当x为何值时，S的面积最大，最大值是多少？
    ③是否存在这样的点C，使得△ADE为直角三角形？若存在，直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图所示，在平面直角坐标中，抛物线的顶点P到x轴的距离是4，抛物线与x轴相交于O、M两点，OM=4；矩形ABCD的边BC在线段OM上，点A、D在抛物线上．
    （1）请写出P、M两点坐标，并求这条抛物线的解析式；
    （2）设矩形ABCD的周长为l，求l的最大值．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：填空题

    如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过M（1，0）和N（3，0）两点，且与y轴交于D（0，3），直线l是抛物线的对称轴．
    （1）求该抛物线的解析式．
    （2）若过点A（-1，0）的直线AB与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为6，求此直线的解析式．
    （3）点P在抛物线的对称轴上，⊙P与直线AB和x轴都相切，求点P的坐标．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图：在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，与两坐标轴交点为点A和点C，与抛物线y=ax2+ax+b交于点B，其中点A（0，2），点B（-3，1），抛物线与y轴交点D（0，-2）．
    （1）求抛物线的解析式；
    （2）求点C的坐标；
    （3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    矩形OABC的顶点A（-8，0）、C（0，6），点D是BC边上的中点，抛物线y=ax2+bx经过A、D两点，如图所示．
    （1）求点D关于y轴的对称点D′的坐标及a、b的值；
    （2）在y轴上取一点P，使PA+PD长度最短，求点P的坐标；
    （3）将抛物线y=ax2+bx向下平移，记平移后点A的对应点为A1，点D的对应点为D1，当抛物线平移到某个位置时，恰好使得点O是y轴上到A1、D1两点距离之和OA1+OD1最短的一点，求此抛物线的解析式．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：单选题

    如图，二次函数y=-x2-2x的图象与x轴交于点A、O，在抛物线上有一点P，满足S△AOP=3，则点P的坐标是（　　）
    A．（-3，-3）B．（1，-3）
    C．（-3，-3）或（-3，1）D．（-3，-3）或（1，-3）

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图①，在平面直角坐标系中，已知△ABC是等边三角形，点B的坐标为（12，0），动点P在线段AB上从点A向点B以每秒
    		3
    个单位的速度运动，设运动时间为t秒．以点P为顶点，作等边△PMN，点M，N在x轴上．
    （1）当t为何值时，点M与点O重合；
    （2）求点P坐标和等边△PMN的边长（用t的代数式表示）；
    （3）如果取OB的中点D，以OD为边在△AOB内部作如图②所示的矩形ODEF，点E在线段AB上．设等边△PMN和矩形ODEF重叠部分的面积为S，请求出当0≤t≤2秒时S与t的函数关系式，并求出S的最大值．

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