Question

如图，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A₁，∠A₁BC的平分线与∠A₁CD的平分线交于点A₂，…，∠A_n-1BC的平分线与∠A_n-1CD的平分线交于点A_n．设∠A=θ．则：
（1）∠A₁=

 

；
（2）∠A₂=

 

；
（3）∠A_n=

 

．

Answer 1

考点：三角形内角和定理,三角形的外角性质

专题：

分析：（1）根据角平分线的定义可得∠A₁BC=

1

2

∠ABC，∠A₁CD=

1

2

∠ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A₁CD=∠A₁BC+∠A₁，整理即可得解；
（2）与（1）同理求出∠A₂；
（3）根据求出的结果，可以发现后一个角等于前一个角的

1

2

，根据此规律即可得解．

解答：（1）解：（1）∵A₁B是∠ABC的平分线，A₁C是∠ACD的平分线，
∴∠A₁BC=

1

2

∠ABC，∠A₁CD=

1

2

∠ACD，
又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A₁CD=∠A₁BC+∠A₁，
∴

1

2

（∠A+∠ABC）=

1

2

∠ABC+∠A₁，
∴∠A₁=

1

2

∠A，
∵∠A=θ，
∴∠A₁=

θ

2

，
故答案为：

θ

2

；

（2）同理可得∠A₂=

1

2

∠A₁=

θ

4

，
故答案为：

θ

4

；

（3）同理可得∠A₂=

1

2

∠A₁=

1

2

×

θ

2

=

θ

22

，
所以∠A_n=

θ

2n

故答案为：

θ

2n

．

点评：本题主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质然后推出后一个角是前一个角的一半是解题的关键．