Question

12．如图，将正方形ABCD绕点A顺时针旋转角度α（0°＜α＜90°），得到四边形AMEF，EM交线段DC于点G，EM的延长线交线段BC于点P，连接AP、AG．
（1）求证：△ADG≌△AMG；
（2）求∠PAG的度数；
（3）当∠1=∠2时，求∠α的度数．

Answer 1

分析 （1）由旋转得出AD=AM再用HL判断出Rt△ADG≌Rt△AMG；
（2）先判断出Rt△ABP≌Rt△AMP，从而得到∠PAG=∠MAP+∠MAG=45°．
（3）先判断出∠AGD=∠PGC，从而判断出∠AGD=∠AGM=∠PGC，得出结论．

解答 解：（1）证明：
∵将正方形ABCD绕点A顺时针旋转角度α得到四边形AMEF，
∴AD=AM，
在△RtADG和Rt△AMG中$\left\{\begin{array}{l}{AD=AM}\\{AG=AG}\end{array}\right.$，
∴Rt△ADG≌Rt△AMG，
（2）在Rt△ABP和Rt△AMP中$\left\{\begin{array}{l}{AM=AB}\\{AP=AP}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABP≌Rt△AMP，
∴∠BAP=∠MAP，
由（1）知，∠DAG=∠MAG，
又∵∠DAB=∠BAP+∠MAP+∠DAG+∠MAG=90°，
∴∠PAG=∠MAP+∠MAG=45°，
（3）∵∠1=∠2，且△ADG和△PCG为直角三角形，
∴∠AGD=∠PGC，
由（1）知，△ADG≌△AMG，
∴∠AGD=∠AGM，
∴∠AGD=∠AGM=∠PGC，
又∵∠AGD+∠AGM+∠PGC=180°，
∴∠AGD=60°，
∴∠1=30°
∴∠DAM=60°，
∴∠MAB=30°
∴∠α=30°．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了旋转的性质，直角三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质，解本题的关键是Rt△ADG≌Rt△AMG和Rt△ABP≌Rt△AMP．