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    （1）画图探究：
    如图1，若点A、B在直线m同侧，在直线m上求作一点P，使AP+BP的值最小，保留作图痕迹，不写作法；
    （2）实践运用：
    如图2，在等边△ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，点P是高AD上一个动点，求BP+PE的最小值
    （3）拓展延伸：
    如图3，四边形ABCD中，∠BAD=125°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小，并求此时∠MAN的度数．
    分析：（1）作出A点关于m的对称点A′，连接A′B即可得出P点位置；
    （2）连接CE，交AD于点P，此时BP+PE最小，再利用等边三角形的性质得出即可；
    （3）分别作出点A关于CD，BC的对称点E，F，连接EF分别交CD、BC于点M、N此时△AMN周长最小；再利用三角形内角和定理得出即可．
    解答：解：（1）如图1所示：P点即为所求；

    （2）如图2，连接EC，交AD于点P，
    此时BP+PE最小，
    ∵等边△ABC中，AB=2，点E是AB的中点，
    ∴CE⊥AB，
    ∴BE=1，BC=2，
    ∴EC=
    		3
    ，
    ∴BP+PE的最小值为：
    		3
    ；

    （3）如图3：
    分别作出点A关于CD，BC的对称点E，F，连接EF分别交CD、BC于点M、N此时△AMN周长最小；
    ∵∠BAD=125°，∴∠E+∠F=55°，∴∠DAM+∠EAB=∠E+∠F=55°，
    ∴∠MAN=125°-55°=70°．
    点评：此题主要考查了利用轴对称求最短路径以及等边三角形的性质和勾股定理以及三角形内角和定理等知识，利用轴对称得出关键点位置是解题关键．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
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    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：阅读理解

    阅读下列材料：
    小明遇到一个问题：如图1，正方形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD和DA边上靠近A、B、C、D的n等分点，连接AF、BG、CH、DE，形成四边形MNPQ．求四边形MNPQ与正方形ABCD的面积比（用含n的代数式表示）．
    小明的做法是：
    先取n=2，如图2，将△ABN绕点B顺时针旋转90゜至△CBN′，再将△ADM绕点D逆时针旋转90゜至△CDM′，得到5个小正方形，所以四边形MNPQ与正方形ABCD的面积比是
    15
    ；
    请你参考小明的做法，解决下列问题：
    （1）取n=3，如图3，四边形MNPQ与正方形ABCD的面积比为
     
    （直接写出结果）；
    （2）在图4中探究，n=4时四边形MNPQ与正方形ABCD的面积比为
     
    （在图4上画图并直接写出结果）；
    （3）猜想：当E、F、G、H分别是AB、BC、CD和DA边上靠近A、B、C、D的n等分点时，四边形MNPQ与正方形ABCD的面积比为
     
    （用含n的代数式表示）；
    （4）图5是矩形纸片剪去一个小矩形后的示意图，请你将它剪成三块后再拼成正方形（在图5中画出并指明拼接后的正方形）．
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    科目：初中数学 来源：2013届江苏省南京市鼓楼区中考二模数学试卷（带解析） 题型：解答题

    【提出问题】
    如图①，在梯形ABCD中，AD//BC，AC、BD交于点E，∠BEC＝n°，若AD＝a，BC＝b，则梯形ABCD的面积最大是多少？
    【探究过程】
    小明提出：可以从特殊情况开始探究，如图②，在梯形ABCD中，AD//BC，AC⊥BD，若AD＝3，BC＝7，则梯形ABCD的面积最大是多少？
    如图③，过点D做DE//AC交BC的延长线于点E，那么梯形ABCD的面积就等于△DBE的面积，求梯形ABCD的面积最大值就是求△DBE的面积最大值．如果设AC＝x，BD＝y，那么S△DBE＝xy．
    以下是几位同学的对话：
    A同学：因为y＝，所以S△DBE＝x，求这个函数的最大值即可．
    B同学：我们知道x2＋y2＝100，借助完全平方公式可求S△DBE＝xy的最大值
    C同学：△DBE是直角三角形，底BE＝10，只要高最大，S△DBE就最大，我们先将所有满足BE＝10的直角△DBE都找出来，然后在其中寻找高最大的△DBE即可．

    （1）请选择A同学或者B同学的方法，完成解题过程．
    （2）请帮C同学在图③中画出所有满足条件的点D，并标出使△DBE面积最大的点D1．（保留作图痕迹，可适当说明画图过程）
    【解决问题】
    根据对特殊情况的探究经验，请在图①中画出面积最大的梯形ABCD的顶点D1，并直接写出梯形ABCD面积的最大值．

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    科目：初中数学 来源：2013-2014学年江苏省无锡市九年级上学期期末考试数学试卷（解析版） 题型：解答题

    探究一:如图1,已知正方形ABCD,E、F分别是BC、AB上的两点,且AE⊥DF．小明经探究,发现AE＝DF．请你帮他写出证明过程.

    探究二:如图2,在矩形ABCD中,AB＝3,BC＝4,E、G分别在边BC、AD上,F、H分别在边AB、CD上,且GE⊥FH．小明发现,GE与FH并不相等,请你帮他求出的值.

    探究三:小明思考这样一个问题:如图3,在正方形ABCD中,若E、G分别在边BC、AD上,F、H分别在边AB、CD上,且GE＝FH,试问:GE⊥FH是否成立？若一定成立,请给予证明;若不一定成立,请画图并作出说明．

     

     

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    科目：初中数学 来源：2012-2013学年江苏省南京市鼓楼区中考二模数学试卷（解析版） 题型：解答题

    【提出问题】

    如图①，在梯形ABCD中，AD//BC，AC、BD交于点E，∠BEC＝n°，若AD＝a，BC＝b，则梯形ABCD的面积最大是多少？

    【探究过程】

    小明提出：可以从特殊情况开始探究，如图②，在梯形ABCD中，AD//BC，AC⊥BD，若AD＝3，BC＝7，则梯形ABCD的面积最大是多少？

    如图③，过点D做DE//AC交BC的延长线于点E，那么梯形ABCD的面积就等于△DBE的面积，求梯形ABCD的面积最大值就是求△DBE的面积最大值．如果设AC＝x，BD＝y，那么S△DBE＝xy．

    以下是几位同学的对话：

    A同学：因为y＝，所以S△DBE＝x，求这个函数的最大值即可．

    B同学：我们知道x2＋y2＝100，借助完全平方公式可求S△DBE＝xy的最大值

    C同学：△DBE是直角三角形，底BE＝10，只要高最大，S△DBE就最大，我们先将所有满足BE＝10的直角△DBE都找出来，然后在其中寻找高最大的△DBE即可．

    （1）请选择A同学或者B同学的方法，完成解题过程．

    （2）请帮C同学在图③中画出所有满足条件的点D，并标出使△DBE面积最大的点D1．（保留作图痕迹，可适当说明画图过程）

    【解决问题】

    根据对特殊情况的探究经验，请在图①中画出面积最大的梯形ABCD的顶点D1，并直接写出梯形ABCD面积的最大值．

     

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