Question

18．如图，B、C、D在同一直线上，△ABC和△DCE都是等边三角形，且在直线BD的同侧，BE交AD于F，BE交AC于M，AD交CE于N．
（1）求证：AD=BE；   
（2）求证：△ABF∽△ADB．

Answer 1

分析 （1）利用等边三角形的性质证明△BCE≌△ACD，就可以得出结论；
（2）由△BCE≌△ACD，得∠CBE=∠CAD，根据三角形的内角和定理可知：∠AFB=60°=∠ABC，并由公共角∠BAF=∠BAD，得△ABF∽△ADB．

解答 证明：（1）∵△ABC与△DCE都是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°．
∴∠ACB+∠ACE=∠ACE+∠DCE，
即∠BCE=∠ACD．
在△BCE和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠BCE=∠ACD}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴AD=BE；
（2）由（1）知：△BCE≌△ACD，
∴∠CBE=∠CAD，
又∵∠BMC=∠AMF，
∴∠AFB=∠ACB=60°=∠ABC，
又∵∠BAF=∠BAD，
∴△ABF∽△ADB．

点评 本题考查了等边三角形的性质的运用及全等三角形和相似三角形的判定和性质的运用．线段相等问题常常运用全等解决．