Question

如图所示，(1)正方形ABCD及等腰Rt△AEF有公共顶点A，∠EAF＝90°，连接BE、DF．将Rt△AEF绕点A旋转，在旋转过程中，BE、DF具有怎样的数量关系和位置关系？结合图(1)给予证明；

(2)将(1)中的正方形ABCD变为矩形ABCD，等腰Rt△AEF变为Rt△AEF，且AD＝kAB，AF＝kAE，其他条件不变．(1)中的结论是否发生变化？结合图(2)说明理由；

(3)将(2)中的矩形ABCD变为平行四边形ABCD，将Rt△AEF变为△AEF，且∠BAD＝∠EAF＝α，其他条件不变．(2)中的结论是否发生变化？结合图(3)，如果不变，直接写出结论；如果变化，直接用k表示出线段BE、DF的数量关系，用α表示出直线BE、DF形成的锐角β．

Answer 1

答案：
解析：

(1)证明：延长DF分别交AB、BE于点P、G　　1分 　　在正方形ABCD和等腰直角△AEF中 　　AD＝AB，AF＝AE， 　　∠BAD＝∠EAF＝90° 　　∴∠FAD＝∠EAB 　　∴△FAD≌△EAB　　2分 　　∴∠FDA＝∠EBA　DF＝BE　　3分 　　∵∠DPA＝∠BPG，∠ADP＋∠DPA＝90° 　　∴∠EBP＋∠BPG＝90° 　　∴∠DGB＝90° 　　∴DF⊥BE　　5分 　　(2)改变．DF＝kBE，＝180°－　　7分 　　证法(一)：延长DF交EB的延长线于点H 　　∵AD＝kAB，AF＝kAE 　　∴＝k，＝k 　　∴＝ 　　∵∠BAD＝∠EAF＝ 　　∴∠FAD＝∠EAB 　　∴△FAD∽△EAB　　9分 　　∴＝＝k 　　∴DF＝kBE　　10分 　　由△FAD∽△EAB得∠AFD＝∠AEB 　　∵∠AFD＋∠AFH＝180 　　∴∠AEB＋∠AFH＝180° 　　∵四边形AEHF的内角和为360°， 　　∴∠EAF＋∠EHF＝180° 　　∵∠EAF＝，∠EHF＝ 　　∴＋＝180°∴＝180°－　　12分 　　证法(二)：DF＝kBE的证法与证法(一)相同 　　延长DF分别交EB、AB的延长线于点H、G． 　　由△FAD∽△EAB得∠ADF＝∠ABE 　　∵∠ABE＝∠GBH∴∠ADF＝∠GBH 　　∵＝∠BHF＝∠GBH＋∠G∴＝∠ADF＋∠G． 　　在△ADG中，∠BAD＋∠ADF＋∠G＝180°，∠BAD＝ 　　∴＋＝180°∴＝180°－　　12分 　　证法(三)：在平行四边形ABCD中AB∥CD可得到∠ABC＋∠C＝180° 　　∵∠EBA＋∠ABC＋∠CBH＝180°∴∠C＝∠EBA＋∠CBH 　　在BHP、CDP中，由三角形内角和等于180°可得∠C＋∠CDP＝∠CBH＋∠BHP 　　∴∠EBA＋∠CBH＋∠CDP＝∠CBH＋∠BHP 　　∴∠EBA＋∠CDP＝∠BHP 　　由△FAD∽△EAB得∠ADP＝∠EBA 　　∴∠ADP＋∠CDP＝∠BHP即∠ADC＝∠BHP 　　∵∠BAD＋∠ADC＝180，∠BAD＝，∠BHP＝ 　　∴＋＝180　∴＝180－　　12分 　　(有不同解法，参照以上给分点，只要正确均得分)