Question

13．某工艺品商店购进一款进价为10元/件的工艺品进行试销，经过一段时间的销售得到如下数据：

销售单价x（元/件）	…	20	30	40	50	60	…
每天销售量（y件）	…	50	40	30	20	10	…

（1）根据表格中的对应关系，猜想y与x的函数关系，并求出该函数关系式；
（1）当销售单价定为多少时，商店试销该工艺品每天获得的利润最大？（利润=销售总价-成本总价）
（2）若物价部门规定，这种工艺品的销售单价不能超过38元，那么工艺品商店应该将工艺品的销售单价定为多少时，使每天销售该工艺品获得的利润最大？最大利润是多少？

Answer 1

分析 （1）观察表格中的数据猜想y与x为一次函数关系，利用待定系数法求出k与b的值，确定出一次函数解析式，检验即可；
（2）设工艺品商店试销该工艺品每天获得的利润是W元，根据利润=销售总价-成本总价列出W与x的关系式，利用二次函数性质求出W取最大时x的值即可；
（3）由（2）的结论及这种工艺品的销售单价不能超过38元，求出使每天销售该工艺品获得的利润最大时单价，以及最大利润．

解答 解：（1）根据表格中y与x之间的对应关系可猜想y与x是一次函数关系，
设这个一次函数为y=kx+b（k≠0），则有$\left\{\begin{array}{l}50=20k+b\\ 40=30k+b.\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}k=-1\\ b=70.\end{array}\right.$，
∴y=-x+70，
将其余各点（40，30），（50，20），（60，10）代入y=-x+70中，均满足，
则所求的函数表达式为y=-x+70；
（2）设工艺品商店试销该工艺品每天获得的利润是W元，
依题意，得W=（x-10）（-x+70）=-x²+80x-700=-（x-40）²+900，
∴当x=40时，W有最大值，
则当销售单价定为40元时，商店试销该工艺品每天获得的利润最大；
（3）对于函数W=-（x-40）²+900，当x≤38时，W的值随着x值的增大而增大，
∴销售单价定为38元∕件时，工艺品商店试销该工艺品每天获得的利润最大，最大利润为W=-（38-40）²+900=896（元），
则当销售单价定为38元时，商店销售该工艺品每天可获得896元的最大利润．

点评 此题考查了二次函数的应用，涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析式，二次函数的性质，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键．