Question

如图，正方形ABCO的边长为4，D为OC边的中点，将△DCB沿直线BD对折，C点落在M处，连接BM并延长交OA于点E，OA，OC分别在x轴和y轴的正半轴上．
（1）求线段OE的长；
（2）求经过D，E两点，对称轴为直线x=2的抛物线的解析式；
（3）在（2）中抛物线上的对称轴上是否存在点P，使以P、E、D、B为顶点的四边形是梯形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）解：连接BD，
∵四边形ABCO为正方形，D为OC的中点，
∴OA=AB=BC=CO=4，OD=DC=2，∠BCO=COA=∠OAB=90°
∵△BCD与△BMD关于BD对称，
∴△BCD≌△BMD，
∴∠DMB=∠BCD=90°，DM=DC=DO=2，∠CDB=∠MDB，
在Rt△DOE和Rt△DME中
∵，
∴Rt△DOE≌Rt△DME，
∴∠ODE=∠MDE，
∴∠ODE+∠CBD=180°÷2=90°，
而∠BCD+∠CBD=90°，
∴∠ODE=∠CBD，
∴Rt△CBD∽Rt△ODE，
∴，
∴．

（2）由（1）知，D（0，2），E（1，0），
设过D，E两点，对称轴为直线x=2的抛物线的解析式为：y=ax²+bx+c，得

解得，
故；

（3）存在点P，使以P、E、D、B为顶点的四边形是梯形，分三种情况讨论：
①如图2，当PE∥BD，PE≠BD时，四边形PEDB是梯形．
设直线PE交y轴于点F，
易证Rt△DEO∽Rt△EOF，
可得OF=，
则F（0，）
过E，F两点，用待定系数法可求直线PE 的解析式为：，
当，此时P点的坐标为（2，），
②如图3，当PD∥BE，PD≠BE时，四边形PDEB为梯形．
设直线PD交x轴于点G．
∵PD∥DE，
∴∠GDE=∠DEB，
∵∠DEG=∠DEB，
∴∠GDE=∠DEG，
∴GD=GE，
设OG=m，在Rt△DGO中，OG²+OD²=DG²，OD=2，OE=1，
易求，
则G（-），
过D，G两点用待定系数法可求直线PD 的解析式为：，
当，此时点P的坐标是（2，）；
③如图4，当PB∥DE，PB≠DE时，四边形PDEB为梯形．
设直线PB交x轴于点H，
∵PB∥DE，
∴∠DEB=∠EBH，∠DEO=∠BH0，
∵∠DEO=∠DEB，
∴∠EBH=∠EHB，
∴EB=EH，
在Rt△ABE中，AE=AO-OE=4-1=3，AB=4，
∴BE=5=EH，
∴OH=OE+EH=1+5=6，
∴H（6，0），
过B，H两点用待定系数法可求直线PB的解析式为：y=-2x+12，
当x=2时，y=8，此时点P的坐标是（2，8）．
综上所述，符合条件的点P有三个，其坐标分别为（2，），（2，），（2，8）．
分析：（1）首先利用已知得出Rt△DOE≌Rt△DME，进而利用Rt△CBD∽Rt△ODE得出EO的长即可；
（2）利用对称轴是直线x=2，以及E，D坐标，代入解析式求出即可；
（3）①如图2，当PE∥BD，PE≠BD时，四边形PEDB是梯形；②当PD∥BE，PD≠BE时，四边形PDEB为梯形；③当PB∥DE，PB≠DE时，四边形PDEB为梯形，分别求出P点坐标即可．
点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及待定系数法求一次、二次函数解析式、相似三角形的判定与性质和梯形的性质等知识，利用分类讨论数形结合得出是解题关键．