Question

如图，相等两圆交于A、B两点，过B任作一直线交两圆于M、N，过M、N各引所在圆的切线相交于C，则四边形AMCN有下面关系成立

1. A.
   有内切圆无外接圆
2. B.
   有外接圆无内切圆
3. C.
   既有内切圆，也有外接圆
4. D.
   以上情况都不对

Answer 1

B
分析：根据切线长定理，四边形有内切圆时，四边形的对边之和相等．根据圆的内接四边形的性质可以得到，四边形如果有外接圆，四边形的对角和应为180°．
解答：解：如图：
因为⊙O₁与⊙O₂是等圆，所以相交的两段相等，
则：∠AMN=∠ANM，
∴AM=AN．
连接O₁M，O₁C，O₂N，O₂C，
∵CM，CN分别是两圆的切线，
∴∠O₁MC=∠O₂NC=90°，
在直角△O₁MC和直角△O₂NC中，
O₁M=O₂N，∠MO₁C＜∠NO₂C，
∴MC＞NC
∴AM+NC≠AN+MC，
所以四边形AMCN没有内切圆．
连接AB，则∠CMN=∠MAB，∠CNM=∠NAB，
在△AMN中，∠AMN+∠ANM+∠MAN=180°，
∴∠CMN+∠CNM+∠AMN+∠ANM=180°，
即：∠AMC+∠ANC=180°，
所以四边形AMCN有外接圆．
故选B．
点评：本题考查的是圆与圆的位置关系，根据两等圆相交得到AM=AN，再由切线的性质得到直角三角形，在直角三角形中判断CM，CN的大小，得到四边形的对边的和不等，确定四边形没有内切圆．根据弦切角定理和三角形的内角和得到四边形的对角互补，确定四边形有外接圆．