Question

如图：把一个矩形如图折叠，使顶点B和D重合，折痕为EF．
（1）找出图中的全等三角形．
（2）△DEF是什么三角形，并证明．
（3）连接BE，判断四边形BEDF是什么特殊四边形，BD与EF有什么关系？并证明．

Answer 1

分析：（1）由于矩形沿EF折叠，使顶点B和D重合，根据折叠的性质得到AB=A′D，∠A′=∠A=90°，∠BFE=∠DFE，而AB=CD，则A′D=DC，利用AD∥BC得到∠BFE=∠FED，则∠DFE=∠FED，所以DE=DF，根据直角三角形全等的判定方法得到Rt△A′ED≌Rt△CFD；
（2）根据折叠的性质得到∠BFE=∠DFE，又AD∥BC，得到∠BFE=∠FED，则∠DFE=∠FED，于是DE=DF，所以△DEF是等腰三角形；
（3）根据折叠的性质得到FB=FD，EB=ED，由（2）得DE=DF，得到DE=EB=BF=FD，根据菱形的判定方法得到四边形BEDF是菱形，然后根据菱形的性质得到BD与EF相互垂直平分．

解答：解：（1）△A′ED≌△CFD；

（2）△DEF是等腰三角形．理由如下：
∵矩形沿EF折叠，使顶点B和D重合，
∴∠BFE=∠DFE，
∵AD∥BC，
∴∠BFE=∠FED，
∴∠DFE=∠FED，
∴DE=DF，
∴△DEF是等腰三角形；

（3）连BE、BD，如图，四边形BEDF是菱形，BD与EF相互垂直平分．理由如下：
∵矩形沿EF折叠，使顶点B和D重合，
∴FB=FD，EB=ED，
由（2）得DE=DF，
∴DE=EB=BF=FD，
∴四边形BEDF是菱形，
∴BD与EF相互垂直平分．

点评：本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应边相等．也考查了全等三角形的判定、矩形的性质以及菱形的判定与性质．