Question

13．如图，⊙O中，AB、CD是⊙O的直径，F是⊙O上一点，连接BC、BF，若点B是弧CF的中点．
（1）求证：△ABF≌△DCB；
（2）若CD⊥AF，垂足为E，AB=10，∠C=60°，求EF的长．

Answer 1

分析 （1）根据点B是弧CF的中点，得BF=BC，根据HL即可得出△ABF≌△DCB；
（2）易得BC=5，则BF=5，在Rt△ABF中，根据勾股定理得出AF，根据CD⊥AF，得出EF的值即可．

解答 证明：（1）∵AB、CD是⊙O的直径，
∴AB=CD，∠F=∠CBD=90°，
点B是弧CF的中点，
∴BF=BC，
在Rt△ABF≌Rt△DCB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}\\{BF=BC}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABF≌Rt△DCB（HL），
（2）∵∠C=60°，
∴∠ABF=60°，
∴∠A=30°，
∴BF=$\frac{1}{2}$AB，
∵AB=10，
∴BF=5，
在Rt△ABF中，AF=$\sqrt{A{B}^{2}-B{F}^{2}}$=5$\sqrt{3}$，
∵CD⊥AF，
∴EF=$\frac{1}{2}$AF=$\frac{5}{2}$$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了勾股定理，圆周角定理，垂径定理，等知识点的应用，关键是熟练地运用定理进行推理和计算，题型较好，综合性比较强，但难度不大．