Question

如图，四边形ABCD中，AB=CB，∠ABC=60°，∠ADC=120°，请你猜想线段DA、DC之和与线段BD的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

解：延长CD至E，使DE=DA．连接AC，AE，如图，
∵∠ADC=120°，
∴∠ADE=60°，
∵AD=DE，
∴△EAD是等边三角形，
∴AE=AD，∠DAE=60°，
∵AB=AC，∠ABC=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∵∠BAD=∠BAC+∠DAC=60°+∠CAD，∠EAC=∠DAE+∠DAC=60°+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE．
∵在△BAD和△CAE中
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴CE=BD，
而CE=CD+DE，DA=DE，
∴AD+CD=BD．
分析：延长CD至E，使DE=DA．连接AC，AE，由∠ADC=120°得到∠ADE=60°，又AD=DE，可判断△EAD是等边三角形，则AE=AD，∠DAE=60°，再根据AB=AC，∠ABC=60°可△ABC为等边三角形，则AB=AC，∠BAC=60°，易证∠BAD=∠CAE，然后根据“SAS”判断△BAD≌△CAE，根据全等的性质得CE=BD，利用CE=CD+DE，DA=DE，即可得到AD+CD=BD．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等边三角形的判定与性质．