Question

（1）如图1，点M是正方形ABCD内一定点，请你在图1中过点M作一条直线，使它将矩形ABCD分成相等的两部分．（只需保留作图痕迹）
（2）如图2，在平面直角坐标系中，直角梯形OBCD是我市城东新区开发用地示意图，其中DC∥OB，OB=8，BC=6，CD=6．新区管委会（其占地面积不计）设在点P（5，3）处，为了方便驻区单位，准备过点P修一条笔直的道路（路的宽度不计），并且使这条路所在的直线L将直角梯形OBCD分成面积相等的两部分，你认为直线L是否存在？若存在，求出直线L的表达式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）如图②连接AC、BD交于O则O为正方形对称中心．
作直线MO，直线MO即为所求．

（2）如图③存在直线l，
过点D的直线作DA⊥OB于点A，
则点P（5，3）为矩形ABCD的对称中心，
∴过点P的直线只要平分△DOA的面积即可，
易知，在OD边上必存在点H使得PH将△DOA面积平分．
从而，直线PH平分梯形OBCD的面积，即直线PH为所求直线l
设直线PH的表达式为y=kx+b且点P（5，3），
∴3=5k+b即b=3-5k，
∴y=kx+3-5k，
∵直线OD的表达式为y=3x，
∴，
解之．
∴点H的坐标为（x=，y=）
把x=2代入直线PH的解析式y=kx+3-5k，得y=3-k，
∴PH与线段AD的交点F（2，3-k），
∴0＜3-k＜6，
∴-3＜k＜3．
∴S_△DHF=[6-（3-k）•（2-）=××2×6，
∴解得：k=-3+2．（k=-3-2舍去）
∴b=3-5k=18-10，
∴直线l的表达式为：y=（-3+2）x+18-10．
分析：（1）连接AC，BD中心点位O，过O点的直线分矩形为相等的两部分．
（2）假如存在，过点D的直线只要作DA⊥OB与点A，表示出H点的坐标，把x=2代入直线PH的解析式y=kx+3-5k，得y=3-k，根据PH将△DOA面积平分，求出k和b即可得出．
点评：本题主要考查了矩形的性质以及待定系数法求一次函数解析式和三角形面积求法等知识，用k表示出F点坐标是解题关键．