Question

将正方形ABCD和正方形BEFG如图1摆放，连DF．
（1）如图2，将图1中的正方形BEFG绕B点顺时针旋转90°，连DF、CG相交于M，则=______，∠DMC=______；
（2）如图3，将图1中的正方形BEFG绕B点顺时针旋转45°，DF的延长线交CG于M，试探究与∠DMC的值，并证明你的结论；

（3）若将图1中的正方形BEFG绕B点逆时针旋转β（0°＜β＜90°），则=______，∠DMC=______．
请画出图形，并直接写出你的结论（不用证明）．

Answer 1

解：（1）如图2，连接BF，
∵四边形ABCD、四边形BEFG是正方形，
∴∠FBC=∠CBD=45°，
∴∠CBD=∠GBC=90°，
而BF=BG，BD=BC，
∴△BFD∽△BGC，
∴∠BCG=∠BDF，
而∠DMC=180°-∠BCG-∠BCD-∠CDF=180°-∠BDF-∠BCD-∠CDF=180-45°-90°=45°，
∴，∠DMC=45°；

（2）如图3，∵将图1中的正方形BEFG绕B点顺时针旋转45°，DF的延长线交CG于M，
∴B、E、D三点在同一条直线上，
而四边形ABCD、四边形BEFG是正方形，
∴∠CBD=∠GBC=45°，BF=BG，BD=BC，
∴△BFD∽△BGC，
∴，∠BCG=∠BDF
而∠DMC=180°-∠BCG-∠BCD-∠CDF
=180°-∠BDF-∠BCD-∠CDF=180-45°-90°
=45°，
即∠DMC=45°；

（3），∠DMC=45°，画图如图所示：
分析：（1）如图，连接BF，根据正方形的性质可以得到∠FBC=∠CBD=45°，由此推出∠CBD=∠GBC=90°，BF=BG，BD=BC，由此即可证△BFD、△BGC相似，然后利用相似三角形的性质即可得到结论；
（2）由于将图1中的正方形BEFG绕B点顺时针旋转45°，DF的延长线交CG于M，那么B、E、D三点在同一条直线上，根据正方形的性质可以得到∠CBD=∠GBC=45°，BF=BG，BD=BC，由此即可证△BFD、△BGC相似，然后利用相似三角形的性质即可得到结论；
（3）将图1中的正方形BEFG绕B点逆时针旋转β（0°＜β＜90°），如图所示，连接BF，和（1）（2）一样证明△BFD、△BGC相似即可解决问题．
点评：此题比较难，主要考查了旋转及正方形的性质，综合性比较强，通过利用正方形的性质构造相似三角形的相似条件，然后利用相似三角形性质就可以解决问题．