Question

（1）如图，在等边△ABC中，N为ABC中，N为BC边上任意一点（不含B、C两点），CM为等边△ABC的外角∠ACK的平分线．若∠ANM=60°，求证：AN=NM．
（2）如图，在等边△ABC中，N为BC延长线上任意一点，CM为等边△ABC的外角∠ACK的平分线，若∠ANM=60°，请问AN=NM是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，AB=AC．
∵CM为等边△ABC的外角∠ACK的平分线，
∴∠ACM=∠ACK=60°，
∴∠ANM=∠ACM=60°，
∴A、N、C、M四点共圆，
∴∠CAM=∠MNC．
∵∠MNC+∠ANB=120°，∠ANB+∠NAB=120°，
∴∠NAB=∠MNC=∠MAC，
又∵AB=AC，∠B=∠ACM=60°，
∴△ABN≌△ACM，
∴AM=AN，
∵∠ANM=60°，
∴△AMN是等边三角形，
∴AN=NM；

（2）解：AN=NM仍然成立，理由如下：
连接AM．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=∠BAC=60°，AB=AC．
∵CM为等边△ABC的外角∠ACK的平分线，
∴∠ACM=∠MCN=∠ACK=60°，
∴∠ANM=∠ACM=60°，
∴A、C、N、M四点共圆，
∴∠NAM=∠NCM=∠BAC=60°，
∴∠BAC+∠CAN=∠NAM+∠CAN，即∠BAN=∠CAM，
∵AB=AC，∠ABN=∠ACM=60°，
∴△ABN≌△ACM，
∴AN=AM，
∵∠ANM=60°，
∴△AMN是等边三角形，
∴AN=NM．
分析：（1）先由等边三角形的性质、角平分线的定义及已知条件∠ANM=60°得出∠ANM=∠ACM=60°，则A、N、C、M四点共圆，∠CAM=∠MNC，再利用SAS证明△ABN≌△ACM，得出AM=AN，又∠ANM=60°，则△AMN是等边三角形，从而得出AN=NM；
（2）连接AM．先由等边三角形的性质、角平分线的定义及已知条件∠ANM=60°得出∠ANM=∠ACM=60°，则A、C、N、M四点共圆，∠NAM=∠NCM=∠BAC=60°，再利用SAS证明△ABN≌△ACM，得出AM=AN，又∠ANM=60°，则△AMN是等边三角形，从而得出AN=NM．
点评：本题考查了等边三角形的判定与性质，四点共圆的条件，全等三角形的判定与性质，有一定难度．抓住两个小题中的不变条件，得到相同的解题方法是解决第（2）小题的关键．