Question

16．如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+4与x轴、y轴分别交于点B，C，抛物线y=-x²+bx+c经过B、C两点，并与x轴交于另一点A．
（1）求该抛物线所对应的函数关系式；
（2）设P（x，y）是（1）所得抛物线上的一个动点，过点P作直线l⊥x轴于点M，交直线BC于点N．
①若点P在第一象限内，试问：线段PN的长度是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时x的值；若不存在，请说明理由；
②△PBC是以BC为底边的等腰三角形，求P点的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用一次函数与坐标轴坐标求法，得出B、C两点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式．
（2）①由B、C的坐标可求得直线BC的解析式，可用x表示出N点坐标，从而可表示出PN的长，利用二次函数的性质可求得PN的最大值，及此时x的值；②由题意可知P点在线段BC的垂直平分线上，则可知点P在直线y=x上，则可得到关于x的方程，可求得P点坐标．

解答 解：
（1）由于直线y=-x+3经过B、C两点，
令y=0得x=3；令x=0，得y=3，
∴B（3，0），C（0，3），
∵点B、C在抛物线y=-x²+bx+c上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-9+3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴抛物线函数关系式为y=-x²+2x+3；

（2）①∵点P（x，y）在抛物线y=-x²+2x+3上，且PN⊥x轴，
∴设点P的坐标为（x，-x²+2x+3），
∵B（3，0），C（0，3），
∴直线BC解析式为y=-x+3，
∴点N的坐标为（x，-x+3），
又点P在第一象限，
∴PN=PM-NM=（-x²+2x+3）-（-x+3）=-x²+3x=-（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
∵-1＜0
∴当x=$\frac{3}{2}$时，线段PN的长度的最大值为$\frac{9}{4}$；
②由题意知，点P在线段BC的垂直平分线上，
又由①知，OB=OC，
∴BC的中垂线同时也是∠BOC的平分线，
∴x=y，即x=-x²+2x+3，解得x=$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$或x=$\frac{1-\sqrt{13}}{2}$，
∴P点坐标为（$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$）或（$\frac{1-\sqrt{13}}{2}$，$\frac{1-\sqrt{13}}{2}$）．

点评 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的判定及方程思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中用x表示出PN的长是解题的关键，在（3）中确定出点P在直线y=x上是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．