Question

20．（1）在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=60°，试探究图1中线段BE、EF、FD之间的数量关系．
小亮同学认为：延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，则可得到BE、EF、FD之间的数量关系．请你按照小亮的思路写出推理过程．
（2）如图2，已知正方形ABCD，△AEF是正方形ABCD的内接等边三角形，请你找出S_△ABE、S_△ADF、S_△CEF之间的数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，则可得到BE、EF、FD之间的数量关系．
（2）延长EB至G，使得BG=DF，连接AC，交EF于H，过E作EP⊥AG，构造全等三角形，再求得S_△CEF=$\frac{1}{2}$EF×CH=1，S_△AGE=$\frac{1}{2}$AG×PE=1，即可得到S_△CEF=S_△AGE，即S_△CEF=S_△ABE+S_△ABG=S_△ABE+S_△ADF．

解答 解：（1）延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，
在△ABE和△ADG中，
$\left\{\begin{array}{l}{DG=BE}\\{∠B=∠ADG}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∵∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD，
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，
∴∠EAF=∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AG}\\{∠EAF=∠GAF}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF=FG，
∵FG=DG+DF=BE+DF，
∴EF=BE+DF．

（2）S_△CEF=S_△ABE+S_△ADF，理由如下：
如图，延长EB至G，使得BG=DF，连接AC，交EF于H，过E作EP⊥AG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠ABG=∠D，
在△ABG和△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠ABG=∠D}\\{BG=DF}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴BE=DF，∠DAF=∠BAG，AG=AF，
∴CE=CF，
又∵AE=AF，
∴AC垂直平分EF，且△CEF是等腰直角三角形，
设EF=2，则EH=CH=1，AE=AG=2，
∴S_△CEF=$\frac{1}{2}$EF×CH=1，
∵∠EAG=∠BAG+∠BAE=∠DAF+∠BAE=90°-60°=30°，
∴PE=$\frac{1}{2}$AE=1，
∴S_△AGE=$\frac{1}{2}$AG×PE=1，
∴S_△CEF=S_△AGE，
即S_△CEF=S_△ABE+S_△ABG=S_△ABE+S_△ADF．

点评 本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，依据全等三角形对应边相等进行推导计算．