Question

如图，已知：直线m分别与x轴、y轴相交于A、B两点，抛物线y=ax²+bx+c经过A（3，0）、B（0，3）、C（1，0）三点．
（1）求直线m的解析式；
（2）求抛物线的解析式及对称轴；
（3）已知D（-1，0）在x轴上．问：在直线m上是否存在一点P使△ABO与△ADP相似？若存在请求出点P的坐标，若不存在请说明理由．

Answer 1

解：（1）把A（3，0），B（0，3）代入y=kx+b，得，
解得：，
∴直线m解析式为y=-x+3；

（2）把A（3，0），B（0，3），C（1，0）三点分别代入y=ax²+bx+c得方程组，
解得：，
∴抛物线的解析式为y=x²-4x+3；对称轴：直线x=2；

（3）存在，由题意可知：△ABO为等腰直角三角形（如图），

分两种情况考虑：
（i）若△ABO∽△AP₁D，则=，
∴DP₁=AD=4，
∴P₁（-1，4）；
（ii）若△ABO∽△ADP₂，过点P₂作P₂M⊥x轴于M，AD=4，
∵△ABO为等腰三角形，
∴△ADP₂是等腰三角形，由三线合一可得：DM=AM=2=P₂M，即点M与点C重合，
∴P₂（1，2）．
分析：（1）将A与B坐标代入y=kx+b中，得到关于k与b的方程组，求出方程组的解得到k与b的值，确定出直线m的解析式；
（2）将A，B及C坐标代入y=ax²+bx+c中，得到关于a，b及c的方程组，求出方程组的解得到a，b及c的值，确定出抛物线解析式，求出对称轴即可；
（3）存在，如图所示，分两种情况考虑：（i）若△ABO∽△AP₁D，利用相似得比例，求出DP₁的长，确定出P₁的坐标；（ii）若△ABO∽△ADP₂，过点P₂作P₂M⊥x轴于M，得出△ADP₂是等腰三角形，利用三线合一得到DM=AM=2=P₂M，此时M与C重合，求出此时P₂的坐标．
点评：此题考查了二次函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，相似三角形的性质，以及待定系数法求函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题第一问的关键．