Question

如图，已知等边△ABC中，DE∥BC，FG∥BC，现将等边△ABC分别沿DE和FG对折，点A分别落在点A₁和点A₂，连接A₂B，A₂C．
（1）求证：△AFG是正三角形；
（2）求证：A₂B=A₂C；
（3）设A₁D、A₁E交GF于M、N两点，若DE=

7

3

cm，FG=3cm，求△A₁MN的周长．

Answer 1

分析：（1）由FG∥BC得出∠AFG=∠ABC=60°，∠AGF=∠ACB=60°，由等边三角形的判定方法可以得出；
（2）由△A₂FG是等边三角形，得出A₂F=A₂G，∠A₂FB=180°-∠AFG-∠A₂FG=60°，同样，求出∠A₂GC=60°，所以∠A₂FB=∠A₂GC，FB=AB-AF=AC-AG=GC，根据SAS得出△A₂FB≌△A₂GC，从而A₂B=A₂C；
（3）首先推出△A₁MN是等边三角形，那么求△A₁MN的周长，关键就是求其边长，根据对称性，可以得出．

解答：（1）证明：∵等边△ABC，
∴∠A=∠ACB=∠ABC=60°，AB=AC．
∵FG∥BC，∠AFG=∠ABC=60°，
∴△AFG是正三角形．

（2）证明：由对折可知，△AFG≌△A₂FG，△ADE≌△A₁DE，
∴△A₂FG是正三角形．
∴A₂F=A₂G，∠A₂FB=∠A₂GC=60°．
又∵AF=AG，
∴BF=CG．
∴△A₂FB≌△A₂GC．
∴A₂B=A₂C．

（3）解：∵∠A₁MN=∠A₁NM=∠MA₁N=60°，
∴△A₁MN是等边三角形．
又∵△DFM是等边三角形，
∴MD=FD=3-

7

3

=

2

3

．
∴MA₁=A₁D-MD=

5

3

（cm）．
∴△A₁MN的周长为5cm．

点评：本题考查图形的折叠变化及等边三角形的性质和判定．关键要理解对折是轴对称，根据轴对称的性质，对折前后图形的形状和大小不变，只是位置发生变化．