Question

已知：如图， AF平分∠BAC，BC⊥AF， 垂足为E，点D与点A关于点E对称，PB分别与线段CF，AF相交于P，M．

（1）求证：AB=CD；

（2）若∠BAC=2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．

Answer 1

（1）证明见解析；（2）∠F=∠MCD，理由见解析.

【解析】

试题分析：（1）由点D与点A关于点E对称易证AC=CD，再根据角平分线，及垂直得到AC=AB，可得答案AB=CD；

（2）易证∠CAD=∠CDA=∠MPC，∠CMA=∠BMA=PMF，可得到∠MCD=∠F．

试题解析：（1）证明：∵AF平分∠BAC，

∴∠CAD=∠DAB=∠BAC，

∵D与A关于E对称，

∴E为AD中点，

∵BC⊥AD，

∴BC为AD的中垂线，

∴AC=CD．

在Rt△ACE和Rt△ABE中，（注：证全等也可得到AC=CD）

∠CAD+∠ACE=∠DAB+∠ABE=90°，∠CAD=∠DAB，

∴∠ACE=∠ABE，

∴AC=AB（注：证全等也可得到AC=AB），

∴AB=CD．

（2）【解析】
∠F=∠MCD，理由如下：

∵∠BAC=2∠MPC，

又∵∠BAC=2∠CAD，

∴∠MPC=∠CAD，

∵AC=CD，

∴∠CAD=∠CDA，

∴∠MPC=∠CDA，

∴∠MPF=∠CDM，

∵AC=AB，AE⊥BC，

∴CE=BE（注：证全等也可得到CE=BE），

∴AM为BC的中垂线，

∴CM=BM．（注：证全等也可得到CM=BM）

∵EM⊥BC，

∴EM平分∠CMB（等腰三角形三线合一）．

∴∠CME=∠BME（注：证全等也可得到∠CME=∠BME．），

∵∠BME=∠PMF，

∴∠PMF=∠CME，

∴∠MCD=∠F．（注：证三角形相似也可得到∠MCD=∠F）

考点：1.轴对称的性质；2.线段垂直平分线的性质；3.等腰三角形的性质．